1. A cone-shaped drinking cup is made from a circular piece of paper of radius R by cutting out a sector and joining the edges CA and CB. Find the angle θ such that the cup has the maximum capacity and

the maximum capacity of such a cup.

Some formulas may be useful in the question:  area of a sector with angle θ and radius r is ; the volume of a cone with bottom radius r and height h is Tr2 h; the surface area of a cone without the bottom is Tr^h2 + r2 .

Solution: Step 1: Let us call the radius of the bottom of the cone r and the height of the cone is h. Then the surface of the cone without the bottom is Tr^h2 + r2 .  We notice that the area of the blue part in the disk is equal to Tr^h2 + r2 .  We now try to find the area of the blue part in the disk.  In fact, it’s the disk area minus the area of the sector with angle θ . Therefore, we have

Tr ^h2 + r2 = TR2 - R2

Also we have

h2 + r2 = R2

And we want to maximize the volume of the cone.

V = Tr2 h

Step 2: Now we want to use (1) and (2) to rewrite the volume of cone as a function of θ . First, we can simplify the left hand side of (1) by (2)

Tr ^h2 + r2 = Tr^R2 = TrR

Thus, we have

θ

Now we can solve r as a function of θ

θ

2T

Second, we can use (2) to solve h as a function of r

Thus, we have

h = ^R2 - r2 = ′R2 - R2(1 - )2 = R ′ - = ^4πθ - θ 2

Finally, we can write the volume of the cone as a function of θ with θ e (0, 2π)

V (θ) = πR2(1 - )2 . ^4πθ - θ 2

R3 (2π - θ)2 ^4πθ - θ 2

=

6                4π2

= (2π - θ)2 ^4πθ - θ 2

Step 3: Finding critical points.  Now this problem is a usual optimization question. We need to find the critical points of V and then check the critical points. First, we take derivative:

V\ (θ) = . [-2(2π - θ) ^4πθ - θ 2 + (2π - θ)2 . (4πθ - θ 2 )一1/2(4π - 2θ)]

R3       (2π - θ)(3θ2 - 12πθ + 4π2 )

= 24π2  .              ^4πθ - θ 2

Note that ^4πθ - θ 2 0 and 2π - θ 0 when θ e (0, 2π).  Now we can find the critical points by letting 3θ2 - 12πθ + 4π2 = 0. By using the quadratic formula, we have

12π 士 ^(12π)2 - 4 . 3 . 4π2 2

6                                   3

Since θ e (0, 2π), we have exactly one critical point

θ = 2π - ^6π

Step 4: Interpreting the result.

● When 0 < θ < 2π - ^6π , V\ (θ) > 0 and V is increasing.  You can choose a sample point at and V\ ( ) > 0.

● When 2π - ^6π < θ < 2π , V\ (θ) < 0 and V is decreasing. You can choose a sample point at and V\ ( ) < 0.

This means V has a maximum at θ = 2π - ^6π (both a local maximum and a global maximum).

And

2 2^3πR3

3                   27

2. A water tank has the shape of a horizontal cylinder with radius R = 1 m and length 2 m.  If water is being pumped into the tank at a rate of m3  per minute, find the rate at which the water level is rising when the water is m deep.

Step 1: Let h(t) be the height of the water filled in the tank at time t. Let V (t) be the volume of the water filled in the tank at time t.  We have known = m3  per minute.  We want to find when h = m.

Step 2: Finding a relationship between h and V . Here, we only consider the case when 0 < h < 1. See the picture below and we will find the area of the blue segment. We call it Aˆ .  Therefore, the volume of the water will be the area of the blue segment times the length of the tank, i.e.  V = 2Aˆ .

From the picture, we can observe Aˆ = area of the sector OAB - area of the triangle △OAB .

To find the area of the triangle OAB, we can find PB = ^1 - (1 - h)2 and AB = 2PB = 2^1 - (1 - h)2 . The area of △OAB = . (1 - h) . 2 ^1 - (1 - h)2 .

To find the area of the sector OAB, we need to find the angle ZAOB first. Note that cos(ZPOB) = 1 - h.   Thus,  we  have  ZAOB  =  2ZPOB  =  2 arccos(1 - h).   Therefore,  the  area  of the  sector OAB = . ZAOB . 12 = arccos(1 - h).

Finally, we have

Aˆ = arccos(1 - h) - (1 - h) ^1 - (1 - h)2

and

V = 2Aˆ = 2[arccos(1 - h) - (1 - h) ^1 - (1 - h)2].

Step 3: finding the unknown rate by taking derivatives with respect to time t.  Now we can take

derivatives on both sides of (6) with respect to t and we can get

= 2 ┌ +′1 - (1 - h)2 - ┐ = 2 ┌ +′1 - (1 - h)2 ┐

= 2 ┌ ′ 1 - (1 - h)2 +′1 - (1 - h)2 ┐

= 4 ′ 1 - (1 - h)2

Now we can plug h = and = in (10). We have

= 4 ′ 1 -

Finally, we have = 81^3 or m per minute.

The water level is rising at a rate of m per minute when the water is meter deep.

Remark: we can also use the same idea to find the rate of change for h when h > . For example, we can find the rate of change for h when h = .  Now the volume of the water in terms of h is different but the rate of the change of h when h = is the same as the rate of the change of h when h = .

3. We can use Rolle’s Theorem to prove a generalized Mean Value Theorem.

Theorem 1. 夕桂t a < b | 夕桂t f αn占 g )桂 two 大unétions w在ié在 αr桂 éontinuous on [a, b] αn占 占i务桂r桂ntiα))桂 on (a, b)| 4ssum桂 g(b) g(a) αn占 g\ (x) 0 大or αnz x e (a, b)|  T在桂n t在桂r桂 桂αists ξ e (a, b) sué在 t在αt

f (b) - f (a) f\ (ξ)

=

g(b) - g(a)      g\ (ξ)

(a) We can find a specific g(x) in the theorem to get the standard Mean Value Theorem.  What is

g(x)? No need to justify your answer to this part. g(x) = x

(b)  Prove the theorem 1.

Hint: Define a new function F (x) = f (x) 一(一)g(x) or H(x) = g(x)[f (b) - f (a)] - f (x)[g(b) -

g(a)].

Method 1:

Solution: Define H(x) = g(x)[f (b) - f (a)] - f (x)[g(b) - g(a)] on [a, b].

Since f and g be two functions which are continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), we can conclude H(x) is continuous on [a, b] and differentiable on (a, b).

Note

H(a) = g(a)[f (b) - f (a)] - f (a)[g(b) - g(a)] = g(a)f (b) - f (a)g(b)

and

H(b) = g(b)[f (b) - f (a)] - f (b)[g(b) - g(a)] = -g(b)f (a) + f (b)g(a)

Thus, we have H(a) = H(b).  Applying the Rolle’s Theorem for H(x) on [a, b], we can conclude there exists ξ e (a, b) such that H\ (ξ) = 0. Therefore, we get

f (b) - f (a) f\ (ξ)

g(b) - g(a)      g\ (ξ)

Note that 一(一) = is well-defined since g(b) g(a)  =告 g(b) - g(a) 0 and g\ (x) 0 for

any x e (a, b)  =告 g\ (ξ) 0.

This completes the proof.

Method 2:

Solution:  Define F (x) = f (x) 一(一)g(x) on [a, b].  Since g(b) g(a), this function is well-

defined.

Since f and g be two functions which are continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), we can conclude F (x) is continuous on [a, b] and differentiable on (a, b).

Note

f (b) - f (a) f (a)g(b) - f (b)g(a)

g(b) - g(a)                   g(b) - g(a)

and

f (b) - f (a) -f (b)g(a) + f (a)g(b)

g(b) - g(a)                    g(b) - g(a)

Thus, we have F (a) = F (b).  Applying the Rolle’s Theorem for F (x) on [a, b], we can conclude there exists ξ e (a, b) such that F\ (ξ) = 0. Therefore, we get

f (b) - f (a) f (b) - f (a) f\ (ξ)

g(b) - g(a)                          g(b) - g(a)      g\ (ξ)

Note that 一(一) = is well-defined since g(b) g(a)  =告 g(b) - g(a) 0 and g\ (x) 0 for any x e (a, b)  =告 g\ (ξ) 0.

4. Now let’s use Question 3 to prove one case of the L’H pital’s Rule.

Theorem 2. 夕桂t a < b | 夕桂t f αn占 g )桂 two 大unétions w在ié在 αr桂 占桂/n桂占 αn占 占i务桂r桂ntiα))桂 on (a, b)| 4ssum桂

● g αn占 g\  αr桂 n桂v桂r 0 on (a, b))

●   lim  f (x) =  lim  g(x) = 0)  x→a+                         x→a+

f\ (x)

x→a+  g(x)     x→a+  g\ (x) |

To prove this theorem, we need to use this following lemma:

夕桂mmα Let a < b. Let H be a function defined on (a, b). For each x e (a, b), let cx be a real number

such that a < cx < b. If lim H(x) exists, then lim H(cx) = lim H(x).

x→a+                                                               x→a+                                x→a+

(a) Assume that f and g are also defined at a and f (a) = g(a) = 0. With this extra hypothesis, prove

Theorem 2.

βroo大| – Let x e (a, b).

– Since f and g are differentiable on (a, b) and (a, x) c (a, b), we can say f and g are differen- tiable on (a, x).

– Since we have   lim  f (x) =  lim  g(x) = 0 and f (a) = g(a) = 0.  We can conclude that f x→a+                         x→a+

and g are continuous at a.  Also, since f and g are differentiable at x, we have f and g are continuous at x. Therefore, f and g are continuous on [a, x].

– Note that g(x) 0 = g(a) and g\ (y) 0 for any y e (a, x).

– Now we can apply Theorem 1 in Q3 on [a, x]. We conclude that there exists ξ e (a, x) such

that

f (x) - f (a) f\ (ξ)

=

g(x) - g(a)      g\ (ξ)

So we have

f (x) f (x) - f (a) f\ (ξ)

x→a+  g(x)     x→a+   g(x) - g(a)     x→a+  g\ (ξ)

f\ (ξ) f\ (x)

x→a+  g\ (ξ)     x→a+  g\ (x)

Therefore, we have proved

f (x) f\ (x)

x→a+  g(x)     x→a+  g\ (x)

(b) Now prove Theorem 2 without any extra hypotheses.

五int|    Define a new function such that = f for all x e (a, b) and (a) = 0.  Do the same

βroo大| – Let x e (a, b).

– Define such that = f for all x e (a, b) and (a) = 0.

x→a+ (x) x→a+ \ (x)

x→a+  g(x)     x→a+  g\ (x)

5.  Suppose that f is a function with domain R. Is each of the following claims true or false? If it is true, prove it. If it is false, provide a counter example and prove that it satisfies the required conditions.    Hint: you may want to use L’Hoˆpital’s Rule in this problem.

f (x)

x→& x

Final Answer This claim is TRUE      FALSE.

Solution:

βroof| Since f has a slant asymptote as x - o, we can find y = mx + b with m, b e R and such that

lim [f (x) - (mx + b)] = 0

x→&

In this case,  lim                              = 0 because the numerator has limit 0 and the denominator

has limit o. Then

f (x) f (x) - (mx + b) + (mx + b)

x→& x        x→& x

= xl ┌ + m + ┐

= 0 + m + 0 = m

f (x)

x→& x

x→& x

Final Answer This claim is TRUE      FALSE.

There are many counter examples.  Here is one:  f (x) = cosx.  We will prove  lim           = 0 and

cos has no slant asymptote as x - o.

cos x

x→&     x

By the Squeeze Theorem, since

-1 sin x 1

< <

x          x         x

for all x > 0 and

lim -1 =  lim 1 = 0,

we can conclude  lim           = 0.

● Claim 2: cos does not have a slant asymptote as x - o. We want to prove that for every m, b e R

lim [cos x - (mx + b)] 0

x→&

Notice that

xl ┌ - m - ┐ = 0 - m + 0 = -m

Therefore

xl[cos x - (mx + b)] = xlx . ┌ - m - ┐ = 士o

where the limit is o if m < 0, -o if m > 0 and the limit does not exist if m = 0.  In all three cases the limit does not exist and not equal to 0.

Remark: There are many other counterexamples:  f (x) = sinx, f (x) = x + cos x, f (x) = ^x, or f (x) = lnx.

(c) Let a e R. Suppose f is differentiable on R. If lim f′ (x) = o, then lim                      = o.

βroof|  Since  lim f′ (x) = o, we have

x→a

lim                 = lim f′ (x) = o

Hence we can apply L’Hoˆpital’s Rule:

lim                      = lim                 = lim f′ (x) = o