Q 1.  One of four different prizes was randomly put into each box of a cereal. If a family always

purchase this type of cereal, then we use ξi  to denote whether the i-th box has a new prize or not, i.e. {ξi = 1} means there is a new prize and {ξi = 0} means there is no new prize.

(1)  Determine the distribution of ξ 1 .                                                                                    [5 marks]

(2) Find the probability P(ξ1 = 1, ξ2 = 0, ξ3 = 0, ξ4 = 1).                                                   [5 marks]

(3)  Define N4 =     i(4)=1 ξi, find the probability mass function of N4 .                                   [5 marks]

(4)  Define G1 = inf{n > 1 |      ξi = 1}, find the distribution of G1 .                              [5 marks]

(5)  Define

n

G2 = inf{n > 1 |       ξi = 2}

i=1

n

G3 = inf{n > 1 |       ξi = 3}

i=1

n

G4 = inf{n > 1 |       ξi = 4}

i=1

find the distribution of G2 - G1, G3 - G2, G4 - G3 .     [15 marks]

(6) Find the expectation of IG4 .         [5 marks]

[40 marks]

Q 2.  The telephone calls arrive at a doctor’s office, according to a Poisson process, on the average of

three every six minutes. Let X denote the waiting time until the first call that arrives after 9 A.M.

(1) What is the PDF of X?                                                                                                 [10 marks]

(2) Find moment generating function ϕX (t) = IetX .                                                        [10 marks]

(3) Find mean IX and variance Var(X).                                                                           [10 marks]

[30 marks]

Q 3. Let the joint PMF of X and Y be defined by

f (x, y) = c(x + y), x = 1, 2, y = 1, 3, 5

where c is a constant.

(a)  Determine the constant c.      [10 marks]

(b) Find marginal PMFs of X and Y .  [10 marks]

(c) Find P(Y = 2X + 1).   [10 marks]

[30 marks]

Appendix

0.1    Binomial distribution

A discrete random variable X, taking values in positive integers {0, 1, . . . , n}, follows Binomial distribution B(n, p) if its probability mass function is given by

P(X = k) = P  、k(n) pk (1 - p)n −k , for k e {0, 1, . . . , n}.

0.2    Poisson distribution

A discrete random variable X, taking values in positive integers {0, 1, . . . }, follows Poisson distribution Poi(λ) if its probability mass function is given by

λk

,

0.3    Geometric distribution

A discrete random variable X, taking values in positive integers {0, 1, . . . }, follows geometric distribution Geo(p) if its probability mass function is given by

P(X = k) = qk − 1p,    for k = 1, . . .

0.4    Negative Binomial distribution

A discrete random variable X, taking values in positive integers {n, n + 1, . . . }, follows negative binomial distribution NB(n, p) if its probability mass function is given by

P(X = k) = 、qk −npn ,    for k = n, n + 1, . . .

0.5    Exponential distribution

A continuous random variable X is called exponential distributed with parameter λ > 0, i.e. X ~ Exp(λ), if its probability density function is given by

f (x) = 入z 

0.6    Gamma distribution

A continuous random variable X follows Gamma distribution Gamma(α, θ) if its probability density

function is given by

f (x) = _