1.   (a) Demonstrate that e北  = p北 (1 + e北+1 )                                          [5 marks] (b)  Give the formula which defines each of the following actuarial symbols.

[5 marks]

(ii) µ北

(c) You are given:

(i) A40:12  = 0.38 (ii) A40  = 0.34

(iii) A40(1):12  = 0.26

Calculate A52

(d) A 10-year endowment insurance is issued to a life aged 55 with a sum insured of £100,000 payable immediately on death, or at the end of the term, whichever is sooner. Level premiums are paid continuously at the annual rate of £7,000 throughout the term.

(i) Write down the Thiele differential equation for t V for 0 < t < 10. [3 marks]

(ii) Explain how you would evaluate policy values with continuous cash- flows.                [2 marks]

2.   (a) Let S0 (x) = 1 − (x/100)2 , for 0 ≤ x ≤ 100, where S0 (x) represents the survival function that a newborn survives beyond age x.

(i) Explain why the function S0 (x) is a survival function.       [3 marks]

(ii) Use the survival function to calculate:

5p50 , 5|10q30  and e˚70 .                                                            [7 marks]

(iii) Do you think it is feasible to use this lifetime distribution to model human mortality? Explain your answer.   [3 marks]

(b)  Consider a mortality model with a one-year select period.

(i) Demonstrate that:

[北]:n   = 1 + vp[北] 北+1:n −1                                                                                 [4 marks]

(ii) You are given that 北:n   = 21.5, [北]:n   = 22.1 and p[北]  = (1 + b)p北

for some constant b. Calculate b.                                       [3 marks]

4.  On 1 January 2014 a life insurance company issued 1,000 identical special endowment insurance policies to select lives then aged 50.  Each policy has a term of 15 years and level premiums are payable annually throughout the policy term. On death within the policy term, a sum insured of £100,000 is paid. On survival to the end of the term, a sum insured of £75,000 is paid.

The premium is calculated using the AM92 select tables and assuming

• Interest: 4%

• Initial expenses: 50% of the first gross premium

• Renewal expenses: 5% of gross premium after the first

(i)  Show that the annual premium for each policy is £4,302.          [3 marks]

(ii)  Calculate the gross policy value per policy in force at the start of 2016, just before the premium due is paid.        [3 marks]

(iii)  Calculate the asset share for each policy at the start of 2016. [5 marks]

(iv)  Comment your answers to parts (ii) and (iii).                  [4 marks]

(v) There were 995 policies in force on 1 January 2016.  During 2016 there were 2 actual deaths, the actual interest rate earned by the company was 3.8% and the expenses were 7%. Calculate the profit or loss in 2016 for this group of policies.                                                           [5 marks]

50, 000A35|j           [5 marks]

(ii)  Calculate the monthly premium.     [5 marks]