1.  A portfolio manager summarizes the input to the index model from the macro and micro forecasters in the following table:

Micro Forecasts

(a)  Calculate expected excess returns and alphas for these stocks.

Answer:

E(ró ) 一 rf

αó      =   E(ró ) 一 rf 一 βó [E(rM ) 一 rf ]

(b)  Using the Treynor-Black procedure Önd the optimal weight of the active portfolio.

Answer:

αa      = β a      = g(ea )2      =

wa(0)      =

wa(*)      =

wó αó  = 3:7741%

wó βó  = 1:0177

wó(2)g(eó )2  = 0:2015

αa =g(ea )2

= 12:2355%

1 + (1 w一0aβa )wa(0)  = 12:2621%

(c)  Find the expected return and standard deviation of the optimal risky portfolio. Answer:

E[rp]   =   rf  + wa(*)αa + ((1 一 wa(*)) + wa(*)β a )E[rM 一 rf ]

=   0:04 + 0:1224 × 0:0377 + (0:8773 + 0:1224 × 1:0177) × (0:16 一 0:04) =   0:1649 = 16:49%

gp(2)      =    ((1 一 wa(*)) + wa(*)β a )2 g M(2)  + (wa(*)g(ea ))2

=   0:0817714

gp      = ←gp(2)  = 28:60%

(d)  Show numerically that the squared Sharpe ratio of the optimal risky portfolio, Sp , is equal to:

SM(2)  + ╱ 、2

Answer: The Sharpe ratio of the optimal risky portfolio is:

E[rp 一 rf ]

gp

16:49% 一 4%

=

28:60%

=   0:436740 = 43:6740%

and therefore:

Sp(2)  = 0:190741

This is the same as:

SM(2)  + ╱ 、2      = ╱ 16 2(%)一8%4%、2 + ╱ 、2

=   0:4385712 + 0:0840722

=   0:190741

2.  Suppose that there are two independent economic factors, F1  and F2 . The risk-free rate is 1% and all stocks have independent Örm-speciÖc components with a standard deviation of 45%. The following are well-diversiÖed portfolios:

Portfolio    Beta on F1       Beta on F2       Expected Return

A

B

1:1

1:8

2:2

一0:4

28%

16%

(a)  Calculate risk premia for F1  and F2 .  Calculate the factor risk premia RP1  and RP2  in this economy?

Answer: From the above information we have:

28%   =    1% + 1:1RP1 + 2:2RP2 ;

16%   =    1% + 1:8RP1 一 0:4RP2 :

Solving for the risk premia RP1  and RP2  we obtain:

┐ = 2一 ┐ ┌ ┐

┐ = 2一 ┐ ━1 ┐ = 一1:5 × 0:21一 2:2 × 2:0 ┌ 一(一) 一1 ┐ ┌ ┐ = ┐

Thus, the risk-beta relationship is:

E(r) = rf  + β1  × 9:9545% + β2  × 7:2955%:

(b)  Suppose that  another portfolio,  portfolio  C,  is well diversiÖed with β 1   =  一0:7  and β 2   = 2:6 and expected return of 14%.  Would an arbitrage opportunity exist?  If so,

propose an arbitrage portfolio. Show that this portfolio is risk-free.

Answer: The equilibrium expected return on portfolio C is:

1% 一 0:7 × 9:9545% + 2:6 × 7:2955% = 13%:

Thus, portfolio C is underpriced (has too high expected return). The arbitrage strategy could be constructed as follows:

● sell 1 unit (dollar) of portfolio A

● buy 1 unit (dollar) of portfolio B

● buy 1 units (dollar) of portfolio C

● borrow 1 unit (dollar) at the risk-free rate

The risk exposure of this portfolio is:

(一1.1 + 1.8 一 0.7) × RP1 + (一2.2 一 0.4 + 2.6) × RP2  = 0. Thus, the arbitrage portfolio is risk-free. The expected return is:

一28% + 16% + 14% 一 1% = 1%.

Since the portfolio is well-diversiÖed with no exposure to the systematic risk it o§ers the risk-free return of 1%.

(c) Is it possible, hypothetically, to build an arbitrage portfolio if short selling is not allowed? Explain and give an example.

Answer:  To build an arbitrage portfolio we need to eliminate the systematic risk by combining assets in proper quantities.  Generally, if some portfolios are mispriced, we would buy the underpriced one (with higher than fair expected return) and sell the that is overpriced (with lower than fair expected return) with the same risk exposure (betas). Thus, if short selling is not allowed it might be di¢ cult to perform arbitrage. However, there might be some assets that have opposite betas than others.   If such assets are underpriced, we might be able to construct long-only arbitrage portfolio.

[There might be other examples.] For example, imagine an asset D with β 1  = 一0.9 and β 2  = 0.2 and expected return 一6%, while the fair rate of return should be:

1% 一 0.9 × 9.95% + 0.2 × 7.3% = 一6.5%.

We would then:

● buy 1 unit (dollar) of portfolio B

● buy 2 units (dollar) of portfolio D

● borrow 3 units (dollar) at the risk-free rate

The risk exposure of this portfolio is:

(1.8 一 2 × 0.9) × RP1 + (一0.4 + 2 × 0.2) × RP2  = 0; while the expected return is:

16% 一 2 × 6% 一 3 × 1% = 1%.

(d) If the Arbitrage Pricing Theory is to be a useful theory, the number of systematic factors in the economy must be small. Why?

Answer: Any pattern of returns can be explained if we are free to choose an indeÖnitely large number of explanatory factors.   If a theory of asset pricing is to have value, it must explain returns using a reasonably limited number of explanatory variables (i.e., systematic factors such as unemployment levels, GDP, and oil prices).

(c) Why would an advocate of the e¢ cient market hypothesis believe that even if many investors exhibit behavioural biases, security prices might still be set e¢ ciently?

Answer: Even if many investors exhibit behavioral biases, security prices might still be set e¢ ciently if the biases are idiosyncratic.  In this case, biases of di§erent investors could cancel out on average.  However, even if the biases are systematic, e.g.  due to a shared sentiment, waves of optimism or pessimism, or herd behaviour, prices might be e¢ cient if the actions of arbitrageurs move prices to their intrinsic values. Arbitrageurs who observe mispricing in the securities markets would buy underpriced securities (or possibly sell short overpriced securities) in order to proÖt from the anticipated subsequent changes as prices move to their intrinsic values.  Consequently, securities prices would

still exhibit the characteristics of an e¢ cient market.

(d)  Brieáy describe a typical industry life cycle. Answer:

● start-up, characterized by extremely rapid growth;

● consolidation stage, characterized by growth that is less rapid but still faster than that of the general economy

● maturity stage, characterized by growth no faster than the general economy

● relative decline, in which the industry grows less rapidly than the rest of the economy or actually shrinks.

4.

(a)  The average returns for the mutual fund Steady Investments has been 12%.  From re- gression of the fundís excess returns over the risk free rate on the excess returns of the market portfolio you found the fundís beta equal to 0:6 with residual standard deviation equal to 30% and adjusted R一squared equal to 75%. The risk-free rate over the period was 2%, and the marketís average return was 10% with standard deviation equal to 25%.

Find fundís:

. Total standard deviation

. Information ratio

. Sharpeís measure

. Treynorís measure

. M2  measure

Answer:   The  total  variance  of the  fundís  returns  can  be  found  from  the  adjusted R一squared:

g2 (e)

R = 1 一

g2 (r) ;

which gives

g2 (r)   =    1(g)2 (一 = 1 0一 = 0:36

g(r)   =   0:60 = 60%

The fundís alpha:

α   =    (r 一 rf ) 一 β(rM 一 rf )

=    (12 一 2) 一 0:6 × (10 一 2)

=   0:052 = 5:20%:

The performance measures are:

IR    =            =        = 0:1733 = 17:33%

S    = 一r) rf   = 126(%)一0%2% = 0:1667

T    = E(r一 rf = 0:12一0:60:02 = 0:1667

M2      =    (S 一 SM ) × gM  = ╱0:1667 一 、0:25 = 一3:83%

(b) You have also been given the following information on another fund Xtreme Performance:

Based on your calculations from (a), which fund would you choose:

. as the entire investment fund?

. as one of a number of subportfolios?

. as an addition to the passive market portfolio?

Explain.

Answer: Since Xtreme has higher Sharpe and M2 measures it would be preferable to hold as the entire investment fund.  However, it should be noted that both funds have lower Sharpe ratios than the market portfolio. As an addition to a well diversiÖed portfolio the appropriate risk measure is based on systematic risk (as opposed to total risk) and in this scenario Steady would be preferable, since it has higher Treynor and T2 measures. If one of the portfolios would be added to the market portfolio the appropriate performance measure is the information ratio, and therefore Steady would be a better choice.

(c)  How many observations do we need before we can be 95% conÖdent that the realised

alpha for Steady Investments from (a) is down to skill, not to luck?         Answer: The standard deviation of the estimator for α is approximately:

(α) ≈ ) =

^T

this equation for T gives:

=    127.86; 2

so the sample should include at least 128 observations.

(d) What is the basic trade-o§ when departing from pure indexing in favour of an actively managed portfolio?

Answer:  The trade-o§ entailed in departing from pure indexing in favor of an ac