Question [100 marks]

Consider a continuous time market where the interest rate is fixed and 3.96% p.a.  A com- pany’s stock price in this market is currently 4.25 and the future price is modelled by

dSt  = 0.0396St dt + 0.2St dBt

where {Bt ; t ≥ 0} is a standard Brownian motion.

a) For a European call option on this stock with a strike price 4.65 and time to maturity of

7 months, answer the following questions:

i) [10 marks] Calculate the current price of the call option using the Black-Scholes model.

ii) [20 marks] Using the Monte-Carlo method with M = 10k , k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, calcu- late the current price of the call option.

iii) [10 marks] Compare the results you obtained in ii) with the true price. Comment on errors and complexities of Monte-Carlo methods.

b) [20 marks] For an exotic option payoff C = max(4.65 − sinh(ST ), 0) and time to maturity of 7 months, estimate the current option price using the Monte-Carlo method.

Rainbow options are usually calls or puts on the best or worst of n underlying assets. Con- sider a Rainbow call on max option, giving the holder the right to purchase the maximum asset at the strike price at expiry, whose payoff is defined by

max ←max ╱S, S , · · · , Sn)、− K, 0]

where S)  is the price of ith  underlying asset at time T and K is a fixed strike price.

Assume that a Rainbow call on max option can only be exercised at the maturity and the prices of all underlying assets are independent. Let choose ρ = 0.0396, K = 4.65, n = 5 and time to maturity of 7 months. S i = 1, · · · , 5 are defined by

dSi)  = 0.0396Si)dt + σi Si)dBt ,

i = 1, · · · , 5

where σ 1  = 0.2, σ2  = 0.25, σ3  = 0.3, σ4  = 0.35, σ5  = 0.4 and S = 3.5, S = 4, S = 4.5, S = 5, S = 5.5.

c) [40 marks] Using the Monte-Carlo method and choose M = 108 , find the time 0 option price of the Rainbow option.

Solutions

a)     i) [10 marks] We know S0  = 4.25, ρ = 0.0396, K = 4.65, σ = 0.2, T = .  Thus, the current price of the call option using the Black-Scholes model is

g(0, S0 ) = S0 Φ(d1 ) − Ke-ρT Φ(d2 )

= 4.25Φ(d1 ) − 4.65e-0.0396 × Φ(d2 )

where

d1  = = = −0.3612 d2  = d1 − 0.2 ′ = −0.5140

Hence,

Φ(d1 ) = 0.3590

Φ(d2 ) = 0.3036

g(0, S0 ) = 4.25Φ(d1 ) − 4.65e-0.0396 × Φ(d2 ) = 0.1459

which are calculated by MATLAB.

ii) [20 marks] As we know S0  = 4.25, ρ = 0.0396, K = 4.65, σ = 0.2, T = . Thus, the current price of the call option can be calculated by the Monte-Carlo method as following,

g(0, S0 ) ≈ e-ρT i max ╱S0 e /ρ - 、T+σzi^T − K, 0、

= e-0.0396 × i max ╱4.25e/0.0396- 、× +0.2zi^ − 4.65, 0、

where zi , i = 1, · · · , M are random observations from a N(0, 1) distribution.

Then, we use the Monte-Carlo method with M = 10k , k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, calculate the current price of the call option by MATLAB. And the results are listed below,

Table 1: Error Analysis Table

where the Relative error = │ │ .

iii) [10 marks] From the above Table 1, we can see the larger the value of M, the closer the estimated value is to the true value. When M increases exponentially, the relative error decreases. Of course, the code running consumes more time.

b) [20 marks] As we know S0  = 4.25, ρ = 0.0396, σ = 0.2, T = . For an exotic option payoff C = max(4.65 − sinh(ST ), 0), the current option price can be estimated using the Monte-Carlo method,

g(0, S0 ) ≈ e-ρT i max ╱4.65 − sinh ╱S0 e /ρ - 、T+σzi^T 、, 0、 = e-0.0396 × i max ╱4.65 − sinh ╱4.25e/0.0396- 、× +0.2zi^ 、, 0、

where zi , i = 1, · · · , M are random observations from a N (0, 1) distribution.

Then, we estimate the current option price using the Monte-Carlo method with M = 108  by MATLAB, and the result is g(0, S0 ) ≈ 3.3984 × 10-6  ≈ 0.

c) [40 marks] For a Rainbow call on max option, the payoff is

max ←max ╱S, S , · · · , Sn)、− K, 0] where S)  is the price of ith  underlying asset

at time T and K is a fixed strike price.