Question [100 marks]

Consider a discrete market, where the interest rate 3.96% p.a is fixed and the underlying asset price is defined by a 20_period (each period is one month) binomial tree model,

S0  = 4.35, St  = St − 1 Yt

where Yt , t = 1, 2, . . . , 20 are independent random variables with

P (Yt  = 1.01) + P (Yt  = 0.99) = 1,    t = 1, . . . , 4

P (Yt  = 1.005) + P (Yt  = 0.987) = 1,    t = 5, . . . , 8

P (Yt  = 1.015) + P (Yt  = 0.97) = 1,    t = 9, . . . , 12

P (Yt  = 1.02) + P (Yt  = 0.975) = 1,    t = 13, . . . , 16

P (Yt  = 1.01) + P (Yt  = 0.99) = 1,    t = 17, . . . , 20

For a European put option with the strike price K = 4.65 and time to maturity of 20 months, answer the following questions:

i) [10 marks] State the no-arbitrage condition.

ii) [40 marks] Find the no-arbitrage time 0 option price of the European put option.

iii) [20 marks] If the European put option can only be exercised when the underlying asset price goes below the level L = 4.2 during or at the end of the 20 months.  Calculate the no-arbitrage option price at time 0 of this barrier put option.

An Asian option is a special type of option contract.  For Asian options the payoff is determined by the average underlying asset price over some pre-set period of time.  This is different from the case of the usual European option and American option, where the payoff of the option contract depends on the price of the underlying instrument at exercise. Asian options are thus one of the basic forms of exotic options.

Assume that an Asian call option can only be exercised at maturity, and the payoff is defined by

C = max(An _ K, 0),    An  = St

where An  denotes the average price for the n periods and K is a fixed strike price.

iv) [30 marks] Let K = 4.65 and n = 20 months. Using the above binomial tree model, find the no-arbitrage option price at time 0 of this Asian call option.

Solutions

i) [10 marks] As the yearly interest rate is 3.96%, the monthly interest rate is ρ = = 0.33%. For each period in the 20_period tree, we have

ut  = 1.01 > 1 + ρ = 1.0033 > dt  = 0.99,    t = 1, . . . , 4  ut  = 1.005 > 1 + ρ = 1.0033 > dt  = 0.987,    t = 5, . . . , 8 ut  = 1.015 > 1 + ρ = 1.0033 > dt  = 0.97,    t = 9, . . . , 12

ut  = 1.02 > 1 + ρ = 1.0033 > dt  = 0.975,    t = 13, . . . , 16 ut  = 1.01 > 1 + ρ = 1.0033 > dt  = 0.99,    t = 17, . . . , 20

Hence, the no arbitrage condition is satisfied for all periods in the binomial tree model.

ii) [40 marks] The binomial tree model is a time varying model with 20 periods. Thus, there will be 220  paths from time 0 to time 20.

Let S and Ci , i = 1, . . . , 220  denote the underlying asset price at time 20 and the payoff of the European put option corresponding to path i, respectively, e.g.,

C1  = max(K _ S 0) = max(K _ S0u1 . . . u20 , 0)

= max(4.65 _ 4.35 . 1.014  . 1.0054  . 1.0154  . 1.024  . 1.014 , 0) = 0 C22←   = max(K _ S 0) = max(K _ S0 d1 . . . d20 , 0)

= max(4.65 _ 4.35 . 0.994  . 0.9874  . 0.974  . 0.9754  . 0.994 , 0) s 1.6025

Then, the arbitrage free q _probabilities are defined by

q)  = = = 0.665,    qt)  = 0.335,    t = 1, . . . , 4   q)  = = = 0.9056,    qt)  = 0.0944,    t = 5, . . . , 8

q)  = = = 0.74,    qt)  = 0.26,    t = 9, . . . , 12         q)  = = = 0.6289,    qt)  = 0.3711,    t = 13, . . . , 16

q)  = = = 0.665,    qt)  = 0.335,    t = 17, . . . , 20

Let Qi , i = 1, . . . , 220  denote the q _probability corresponding to path i, e.g.,

Q1  = qq . . . q

= 0.6654  . 0.90564  . 0.744  . 0.62894  . 0.6654  s 0.0012

Q22← = qq . . . q

= 0.3354  . 0.09444  . 0.264  . 0.37114  . 0.3354  s 1.0939 × 10 − 12

Hence, the option price at time 0 is

22←

V0  = (1 + ρ)−20          Ci Qi  = 0.1157

i=1

which is calculated by MATLAB.

iii) [20 marks] For the barrier put option, it has the same setup as the above.

However, only if S20  < 4.2, then the option holder can exercise the option right. Under this barrier, if S > 4.2, then Ci   = 0.  If S20i    < 4.2, then Ci = max(K _ S 0) = 4.65 _ S

After the adjustment of Ci , the barrier option price at time 0 is

22←

V0  = (1 + ρ)−20          Ci Qi  = 0.0406

i=1

which is calculated by MATLAB.

iv) [30 marks] Let S t = 1, . . . , 20, i = 1, . . . , 220  denote the underlying asset price at time t corresponding to path i, e.g.,

S = S0u1 , S = S0u1u2 , . . . , S = S0u1u2 . . . u20

Then, the payoff corresponding to path i is

Ci  = max ╱ Si) _ 4.65, 0\ ,    i = 1, . . . , 220

The Asian call option price at time 0 is

22←

V0  = (1 + ρ)−20 z Ci Qi  = 0.0103

i=1

which is calculated by MATLAB.

MATLAB Codes