Question 1.

Solve for all pure and mixed strategy Nash equilibria of the following game.

T

B

AnsweT.   We will first solve this using best response correspondences.   Let p be the probability Player 1 puts on T and q be the probability Player 2 puts on L.

Given q, Player 1’s expected payoffs from T and B are

U1 (T, q) = 6q + 0(1 - q)  = 6q

U1 (B, q) = 3q + 6(1 - q).

So if 6q > 3q + 6(1 - q) (equivalently, if q > ), T is the only best response.  If instead q < , B is the only best response.  If q = , any mixture between the two actions is a best response. We can therefore plot her best response as in Figure 1(a).

Similarly, given p, Player 2’s expected payoffs from L and R are

U2 (L, p) = 0p + 2(1 - p) = 2(1 - p)

U2 (R, p) = 6p + 0(1 - p) = 6p.

So if 2(1 - p) > 6p (equivalently, if p < ), L is the only best response. If instead p >  , R is the only best response.  If p = , any mixture between the two actions is a best response. We can therefore plot his best response as in Figure 1(b).

Overlaying the two best response correspondences we obtain Figure 1(c). There is only one intersection:  (  , ). Therefore there is only one Nash equilibrium in which Player 1 plays T with probability 1/4 (and B with probability 3/4) and Player 2 plays L with probability 2/3 (and R with probability 1/3).

If you dislike best response correspondences, you can make the following (equally valid) argument:  There is obviously no pure strategy Nash equilibrium.  Moreover, if any one player plays a pure strategy, the other player has a unique best response.  Hence in any mixed strategy Nash equilibrium, both players must be strictly mixing. This means both players must be indifferent between both of their strategies. To make Player 1 indifferent

between T and B, q must satisfy

U1 (T, q) = U1 (B, q)

6q = 3q + 6(1 - q)

q = 2(1 - q)

q = 2

Similarly, to make Player 2 indifferent between L and R, p must satisfy

U2 (L, p) = U2 (R, p)

2(1 - p) = 6p

1 - p = 3p

p = 1

Therefore we have a mixed strategy Nash equilibrium in which Player 1 plays T with probability 1/4 (and B with probability 3/4) and Player 2 plays L with probability 2/3 (and R with probability 1/3). This is the only Nash equilibrium of this game.

q

BR1

p                                             p                                             p

0       1                           1                  0       1                           1                  0       1                           1

4                                                                       4                                                                       4

(a) Player 1                                      (b) Player 2                                         (c) Both Figure 1.  Best Response Correspondences for Question 1(a)

Question 2.

First draw the expected utility of player 2 for each of his pure strategy as a function of player 1’s mixed strategy. Then solve for all pure and mixed strategy Nash equilibria of

B      S      X

AnsweT.

The game is reproduced here. Stars indicate best responses.

B         S         X

Quick checking reveals that there are two pure strategy Nash equilibria:   (B, B) and (S, S). No strategy is dominated.

Other than these two pure strategy Nash equilibria, there is no equilibrium in which player 1 plays a pure strategy. So let p be the probability that player 1 puts on B . Given p, player 2’s expected payoffs are:

U2 (B) = 2p

U2 (S) = 4(1 - p)

U2 (X) = p + 3(1 - p).

Plotting player 2’s expected payoffs against p we get Figure 2.

The intersections of the lines (along the upper envelope of the graphs) are calculated as follows: Player 2 is indifferent between S and X at p such that

p + 3(1 - p) = 4(1 - p)

p = 1 - p

p = 1

Similarly, player 2 is indifferent between B and S at p that solves

p + 3(1 - p) = 2p

3(1 - p) = p

p = 3

[If you would like to check that the graph is correctly drawn, you can also look for the p that makes player 2 indifferent between B and S and verify that, at that p, X yields

3

4

Figure 2.  Question 3(a): Player 2’s expected payoffs against p

a strictly higher payoff .  (Or verify that the lines are intersecting in the correct way.)  I demonstrate how to do this here, but this is not essential. Note that player 2 is indifferent between B and S at p that solves

2p = 4(1 - p)

p = 2(1 - p)

p = 2

At this p, the payoff from S (or B, since they are the same) is 2p = 4/3. The payoff from X is p + 3(1 - p) = 2/3 + 1 = 5/3. So indeed we have the graph drawn correctly.]

We claim that in order for player 1 to be willing to put positive probability on both B and S, player 2 must put probability strictly between 0 and 1 on B .  This is because if player 2 never plays B, then since S is the best response to both S and X, player 1 will not put positive probability on B . On the other hand, if player 2 always plays B, player 1’s unique best response is B and she will not put positive probability on S . Therefore, to get player 1 to mix between B and S, player 2 must mix between B and some other action.

From the graph, player 2 is willing to mix between B and some other action only at p = 3/4, when B is indifferent to X (and S is strictly worse than the other two actions). Hence p = 3/4 in any mixed strategy Nash equilibrium.  Let q be the probability that player 2 plays B and 1 - q be the probability that player 2 plays X . For player 1 to be indifferent between B and S ,

4q = 1 - q

q = 1

Therefore the only Nash equilibrium other than the pure strategy Nash equilibria is one in which player 1 plays B with probability 3/4, S with probability 1/4; and player 2 plays B with probability 1/5, S with probability 0 and X with probability 4/5.

Question 3.

Solve for all pure and mixed strategy Nash equilibria of the following game.   As this game has infinitely many Nash equilibria, it may be easier to find them all if you use the graphical approach of drawing best response correspondences.

1 /2    L      R

T

B

Answer.  This game is a bit special.  We will first solve this using best response corre- spondences. Let p be the probability Player 1 puts on T and q be the probability Player 2 puts on L.

Given q, Player 1’s expected payoffs from T and B are

U1 (T, q) = 0

U1 (B, q) = 2q + 0(1 - q) = 2q .

So if q > 0, B is the only best response.  If q = 0, any mixture between the two actions is a best response. We can therefore plot her best response as in Figure 3(a).

Similarly, given p, Player 2’s expected payoffs from L and R are

U2 (L, p) = p  + 2(1 - p)

U2 (R, p) = 2p + (1 - p).

So if p + 2(1 - p) > 2p + (1 - p) (equivalently, if p < ), L is the only best response. If instead p > , R is the only best response. If p = , any mixture between the two actions is a best response. We can therefore plot his best response as in Figure 3(b).

Overlaying the two best response correspondences we obtain Figure  1(c).   There is an intersection at (0, 1) and an overlapping line consisting of all points (p, q) such that   s p s 1 and q = 0.  Therefore, all Nash equilibria of this game are:  (B, L) and all strategy profiles in which Player 1 plays T with probability p (and B with probability 1 - p), where 1/2 s p s 1, and Player 2 plays R.

Notice that this game has infinitely many Nash equilibria.

Can we get the same result without using best response correspondences?  Of course we can! The first thing you may notice is that Player 1’s strategy T is weakly dominated by B. If Player 1 is playing her only undominated strategy B, Player 2’s best response is L. This gives us the pure strategy Nash equilibrium (B,L).

Now let’s see if we can find other Nash equilibria. If there are any other Nash equilibria, Player 1 must play T at least some of the time (since we have already considered the case in which Player 1 always plays B). For this to happen, Player 2 must play R all the time. This is because if L is played with any strictly positive probability, Player 1 would