Question 1.

Three firms use water from a lake.  Each firm has two possible actions:  treat sewage (T) or dump sewage (D). If no firms or only one firm dumps sewage, the lake remains clean.  If two or more firms dump sewage, the lake becomes polluted.  Each firm gets a revenue of 4 if the lake is clean, and a revenue of 1 if the lake is polluted.  The cost of treating sewage is 1. There is no cost to dumping sewage. Each firm’s payoff is given by its revenue minus sewage treatment cost, if any.

(a) Find all pure strategy Nash equilibria of this game.

AnsweT.  There are four Pure Strategy Nash Equilibria:  (T, T, D), (T, D, T), (D, T, T), (D, D, D).

(b) Is there any equilibrium in which the lake is polluted? If yes, which one(s)? AnsweT. Yes, (D, D, D).

Question 2.

Each of n people chooses whether or not to contribute a fixed amount toward the provision of a public good. The good is provided if and only if at least k people contribute where 2 < k < n; if it is not provided, then the contributions are not refunded.  Each person ranks the outcomes from best to worst as follows:

(i) Any outcome in which the good is provided and he/she does not contribute. (ii) Any outcome in which the good is provided and he/she contributes.

(iii) Any outcome in which the good is not provided and he/she does not contribute. (iv) Any outcome in which the good is not provided and he/she contributes.

Answer the following questions.

(a) Formulate this situation as a strategic (normal-from) game.

AnsweT.

● Players: n contributors

● Strategies: for each player, {C, N}

● Payoffs:

ui (C, S一i ) = │ 0(2)

and

if at least k · 1 many C in S一i ,

if Q一i  > a · c.

ui (N, S一i ) = │(一一i ,

All numerical values that preserve the ordering above are true.

(b) Find ALL pure strategy Nash equilibria of this game. Is there a Nash equilibrium in which more than k people contribute? One in which k people contribute? One in which fewer than k people contribute?

AnsweT. First, there is no Nash equilibrium in which more than k people contribute. In order to see this, pick a strategy profile in which more than k people choose C . For any player who chooses C, she receives a payoff of 2.  If she deviates to N , the the good is still provided and she receives 3 unit payoff, hence there exists a profitable deviation.

Second, any strategy profile in which exactly k people contribute is a Nash equilibrium. In order to see this, pick a player who chooses C . Her payoff is 2. If she chooses N , then the good is not provided and she receives 1.  Hence she does not want to deviate.  For any player who chooses N receives 3 and a deviation yields 2 unit payoff, hence again no deviation.

Third, a strategy profile in which no-one contributes is a Nash equilibrium. In order to see this, for each player contribution will not change the provision of the outcome, hence yields a lower payoff . Therefore, there is no profitable deviation.

Fourth, there is no other pure strategy Nash equilibrium.  In order to see this, pick a strategy profile in which at least 1 player contributes and the number of all players who contributes is less than k .  Then, the good is not provided.  Any player who contributes receives 0 payoff . She can obtain 1 by deviating to N .

(c) Provide a definition of a Pareto optimal strategy profile.  Which pure strategy equilibria of this game are Pareto optimal? Briefly explain.

AnsweT.  A strategy profile is Pareto optimal if there does not exist another strategy profile which makes at least one player better off without making anyone worse off .

No. (N, . . . , N) is not Pareto optimal, any other Nash equilibrium makes all individuals better off . However, all other Nash equilibria are PO since any other outcome makes at least one player worse off .

Question 3.

Find all pure strategy Nash equilibria of the following game and show that the following strategy profile is a mixed strategy Nash equilibrium of this game: Player 1 plays T with probability 1/4  (and B  with probability 3/4) and Player 2 plays L with probability 2/3 (and R with probability 1/3) .

1 /2    L      R

T

B

Remark: This question asks you to show that a given strategy profile is a mixed strategy Nash equilibrium.  This problem is considerably easier than solving for mixed strategy Nash equilibria of a game.

Answer.

1 /2    L      R

T

B

This game has NO pure strategy Nash equilibrium.

Let p be the probability Player 1 puts on T and q be the probability Player 2 puts on L.

Given q, Player 1’s expected payoffs from T and B are

U1 (T, q) = 6q + 0(1 · q) = 6q

U1 (B, q) = 3q + 6(1 · q) = 6 · 3q .

Note that the given mixed strategy of Player 2 is (q* , 1 · q* ) = (2/3, 1/3). Then U1 (T, q* ) = 4 = U1 (B, q* ).

Hence, the strategies T and B yield the same expected payoff to Player 1, hence she is indifferent between the two pure strategies. Similarly, the expected payoff of any mixture of the two pure strategies is (recall the compound lottery)

U1 (p, q* ) = pU1 (T, q* ) + (1 · p)U1 (p, q* ) = 4.

Recall that the given mixed strategy of Player  1 is  (p* , 1 · p* )  =  (1/4, 3/4).   Then U1 (p* , q* ) = U1 (p, q* ) for all p e [0, 1].  Therefore, Player 1 has no incentive to deviate from the proposed strategy (p* , 1 · p* ).