Problem 1 (25 points). The following are the final grades of two sections of one statistics course. n1 =22 students in section 1 have a sample of an average of x¯1 = 84 with a standard deviation of s1  = 4.  n2 =18 students in section 2 made a sample average of x¯2  = 80 with a standard deviation of s1  = 6. We now want to assess the difference of population means µ 1 − µ2  of grades between two sections.

(1)  (15 points) Test for H0  : µ 1 − µ2 = 0 v.s. Ha  : µ 1 − µ2  0 using a large sample Z-test and report the p value. Use a significance level of α = 0.025.

(2)  (10 points) Compute a 95% confidence interval estimate for µ 1 − µ2 .

Problem 2 (25 points).  Let X1 , X2 , ... , Xn  be i.i.d.  samples from the uniform(θ,θ + 1) distribution. To test H0  : θ = 0 versus H1  : θ > 0, we use the following test

reject H0  if X(1)  ≥ k,

where k is a constant, X(1)=min{X1 , ...,Xn}.

(1)  (10 points) Determine k so that the level of the test is α (the probability of Type I error).

(2)  (15 points) Find the expression for the probability of Type II error of this test using k and θ .  (Hint:  Discuss different values of k .)

Problem 3 (25 points). Consider a simple linear model with normal error: Y = β0 + β1x + ε, ε ∼ N(0,σ2 )

Suppose that 10 pairs of observed values from this model given in the following table are obtained:

(1)  (8 points) Calculate the values of the M.L.E.’s βˆ0 , βˆ1 , and 2 .

(2)  (7 points) Determine an unbiased estimator of Var(βˆ0 ) and calculate its value.

(3)  (10 points) Let θ = 2β0 +cβ1 , where c is a constant. Determine an unbiased estimator θˆ of θ . For what value of c will the M.S.E. of θˆ be smallest?