Question 1.  Let ↵ : E ! E be defined by ↵(x,y) = (6 − 2x,−y).

(a) Prove that ↵ is a transformation.

(b) Find all fixed points of ↵ .

(c) Is ↵ an involution, isometry, affine transformation?

Question 2.  Let Q = (2, 1) and v = [ ]6(2) .

(a) Find the Cartesian equation of the line ` through Q in direction v.

(b) Find the Cartesian equation of the line m such that pQ,−⇡/2  = σ` σm .

(c) What is the isometry Tv ◦ pQ,−⇡/2 ◦ T1 ?

Question 3.  Denote by a, b the lines with the Cartesian equations y = 0, x = 0 respectively,

and i = [ ]0(1) , j = [ ]1(0) .

(a) Find the functions f(x,y) and g(x,y) such that γa,i(x,y) = (f(x,y),g(x,y)). (b) If γa,i(P) = Q, show that the midpoint of the segment PQ belongs to a.

(c) What is the isometry γa,iγb,j?

Question 4.  Let A, B, C be the vertices of an equilateral triangle in the plane.

(a) Describe all isometries which map the set {A,B,C} to itself. (Your answer should consist

of a list specifying the reflections, rotations, translations and/or glide-reflections with the requested property.)

(b) Is the set G of all those isometries a group?

(c) Find all subsets of G which are groups.

Question 1.   (a) We need to prove that ↵ is a bijection, i.e. that for each point (u,v) 2 E , there is a unique point (x,y) 2 E, such that ↵(x,y) = (u,v). We have:

u

The last system gives those unique values for x and y.

(b) ↵(x,y) = (x,y)    ,    6 − 2x = x, −y = y  ,    x = 2, y = 0. Since the only fixed

point is (2, 0), the fixed-point set is {(2, 0)}.

(c) If ↵ is an involution, then ↵ ◦ ↵ = L. We calculate:

(↵ ◦ ↵)(x,y) = ↵(6 − 2x,−y) = (6 − 2(6 − 2x), −(−y)) = (4x − 6,y).

We see that it is not the identity map: for example, (↵ ◦ ↵)(0, 0) = (−6, 0)  (0, 0).

Let A = (0, 0), B = (1, 0). We have d(A,B) = 1 and d(↵(A), ↵(B)) = d((6, 0), (4, 0)) = 2  d(A,B).

Let ` be a line with the Cartesian equation ax + by + c = 0, (a,b)  (0, 0). As calculated in

(a), for ↵(x,y) = (u,v) we have: x = 3 − 2 , y = −v, thus the points (u,v) belongs to ↵(`) if and only if it satisfies the equation: a ⇣3 − ⌘ − bv + c = 0, i.e.  au +2bv − 6a − c = 0, which

is a line again.

We conclude that ↵ is neither an isometry nor an involution, but it is an affine transforma- tion.

Question 2.  (a) A vector orthogonal to v is u =  [ 1] =   [ 2], u · v = 0. Point X = (x,y)

−−!

is: 3x − y − 5 = 0.

(b) Line m contains Q and \(m,`) = − 4 . If u1  is a vector orthogonal to m, we then have \(u1 , u) = −  , i.e R⇡/4u is collinear with u1 :

] u =  ][ 1] =^2 [ ]1(2) ,

so we can set u1   =  [ ]1(2) .   Now,  the line m will be the set of all points X(x,y) satisfying

−−!

(c) Note that Tv (Q) is a fixed point of that isometry, and that the isometry is even, as a

composition of even isometries. Now, notice that translations do not change direction veors

Question 3.   (a) We have:  γa,i  = σaTi , and σa (x,y) = (x,−y), Ti (x,y) = (x + 1,y).  Thus, γa,i(x,y) = (x +1, −y), i.e. f(x,y) = x +1, g(x,y) = −y.

(b) Denote P1  = σa (P), P2  = Ti (P). Then PP1 QP2  is a rectangle and a is one of its axes of symmetry. Thus, the midpoint of the diagonal PQ belongs to a.

(c) We have: γa,i  = Ti σa , γb,j  = Tj σb , Tj  = σa σ` , where ` is the line with Cartesian equation

y = − , and Ti  = σm σb , where m is the line with Cartesian equation x =  .  We calculate: