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MAT301 Assignment 6

You can use all the results from the lectures, tutorials, and the results from the book in that were covered in class before the assignment due date. You can also use results from previous homework assignments and term tests to which the solutions have already been posted. When you are using a result state clearly  and explicitly what you are using.  You can give references to theorems in the book or say that a particular statement you are using was proved in class.

You  may  NOT use any results that were not covered in class.   This includes future results from the book that have not been covered in yet.

Show work in all problems.

(1) Let a > 0, b > 0 be integers.

Prove that Z2/((a, 0), (0, b))  Zα 9 Zb .

(2) Find all homomorphisms ϕ : Z20 → Z8 .

(3) Use the first isomorphism theorem to prove that Z2/((2, 2))  Z9Z2 .

(4) Find all homomorphisms ϕ :  S4 → Z10 .

(5) Find all homomorphisms ϕ : Z21 9 Z4 → S3 .

(6) Let G be a group of order 77.  Suppose there is a e G such that

lal = 11.

Prove that G  Z77

Hint:  Adapt the proof of the classification of groups of order 35 from Lecture 21.

(7) Let G be a group and suppose Inn(G) is not trivial.  Prove that Aut(G) is not cyclic.

Hint:  Use Theorem 9.4.

(8) Prove that a homomorphism ϕ :  Z2  9 Z80  → Z4  9 Z4  can not be onto.

Hint:  Argue by contradiction and look at the orders of elements in Z2 9 Z80/ ker ϕ .