Deadline:      December 5, 2022 (Monday) noon

Topics 4   Differentiation and Partial Differentiation

(1)

Given the following function

f(X) = X 5  − 3X4  + ln (4X) + 2

(a)  Show that  f(X)   has a root over the interval   [ 1, 2] .

(b)  Find an approximate value of the root in the interval  [1, 2], to 4 decimal places accuracy, by using the Newton method. (You are required to show your workings)

(2)

Delilah  Office  Supply   Limited   (Delilah)   manufactures  and  sells   paper  shredders  to   its customers. The price-demand equation for these shredders is

y = 60 − 0.04Q    ,  where  y  is  the  price  per  shredder  and  Q  is  the  number  of  sold

shredders

Delilah  could   produce  at   most   1,000  shredders.  The  cost  of   manufacturing   Q   paper shredders by Delilah is

C (Q) = 8,000 + 10Q

(a)  Find an expression for the profit function in terms of  Q, i.e.  P (Q).

(b)  Find the derivative  P# (Q).

(c)  By using (b), what is the company’s maximum profit? What should the company charge for each shredder, and how many shredders should be sold?

(d) The government  decided to tax  additional  $4 for  each  sold  shredder.  Considering this additional expense, what is the company’s maximum profit? What should the company charge for each shredder, and how many shredders should be sold?

(3)

For the following function,

f(X, y) = X 2  + 4y3  − 6Xy − 2

(a)  Find all critical point(s).

(b)  For  each  critical  point,  determine,  by the  second  derivative test, whether  it  is  a  local maximum, a local minimum, a saddle point, or whether the test gives no information.