Question 1 ( 10 marks).

Perform the ideal sampling to the following continuous-time signal x(t):

x t  = 5 cos (2휋푡) − 3 cos 3휋푡 + 2 cos 6휋푡 + cos (8휋푡)

1)   Sketch the frequency spectrum of x(t);

2)   The frequency which, under the sampling theorem, must be exceeded by the sampling frequency is called the Nyquist rate. Find the Nyquist rate of x(t) in Hz;

Question 2 (20 marks).

A signal whose energy is concentrated in a frequency

band is often referred to as a bandpass signal. There

are a variety of techniques for sampling such signals,

generally      referred      to      as      bandpass-sampling

techniques. To examine the possibility of sampling a

bandpass   signal   as   a   rate   less   than   the   total

bandwidth,  consider  the  system   shown   in   Figure

Q2(b).

Assuming  that  휔1  > 휔2  − 휔1  ,  find  the  maximum

value of T and the values of the constants A, 휔푎 , and

휔푏 such that 푥푟 ( 푡) = 푥 ( 푡).

Question 3 (20 marks).

An LTI system with impulse response ℎ 1 [푛] = 푛 푢 [푛]  is connected in parallel with another causal LTI system with impulse response h2 [n]. The resulting parallel   interconnection has the frequency response

퐻(푒푗휔 ) =  12 7푒(12)휔5 푒(푗)2푗휔

1)   Determine h2 [n];

2)   Use adders, multipliers, and delay units to draw the block-diagrams of 퐻(푒푗휔 ) in Direct form I, Direct form II, cascaded form and parallel forms.

Question 4 ( 10 marks).

The DTFT of x [n] is X( ω ). Express the DTFT of following signals using X( ω ).

1)   x1n  = x 1 − n  + x[ − 1 − n]

2)   x2n  = (푛 − 1)2x n

푥 푛  ,   푛 푖푠 푒푣푒푛

0,             푛 푖푠 표푑푑

Question 5 (20 marks).

A) Two sequences:

x n  = n + 1;    0 ≤ n ≤ 3

− 1,   0 ≤ n ≤ 4

1,       5 ≤ n ≤ 6

1)   Calculate the linear convolution x n ∗ h[n];

2)   Calculate the circular convolution x n ⊛ h n

B) With the knowledge of DFT values at even indices of a 7-point real sequence:   X(0) = 4.8;              X(2) = 3.1+j2.5;             X(4) = 2.4+j4.2;             X(6) = 5.2+j3.7; Find the DFT values at odd indices.