A    Multiple choice questions (4 marks per question) Please justify your choice.1

1. What is the derivative of l2t e −x dx with respect to t?

(a)  et + 2te−t2 ,

(b)  e −t ,

(c)  e −t + e −t2 ,

(d)  −e−t .

2. What is the indefinite integral of x−1/4?

(a)  x3/4 + C ,

(b) 4x1/4 + C ,

(c)  − x−5/4 + C ,

(d)  x−5/4 + C .

3. What is the value of the following integral?

\−11 xex8 dx

(a)  −2/9,

(b)  0,

(c) the integral diverges to +∞,

(d)  2/9.

4. Which of the following statements is not true?

(a) the maximum of the program maxx∈R −(x−1)2 is the minimum of the program minx∈R(x − 1)2 ,

(b) the maximum of the program maxx∈R −(x−1)2 is the minimum of the program min−x∈R −(−x − 1)2 ,

(c) the value at the maximum of the program maxx∈R −(x − 1)2  is the opposite of the value at the minimum of the program minx∈R(x − 1)2 ,

(d) the program maxx∈R −(x − 1)2  is concave.

5.  Consider the following problem:

max{−eab}

(a,b)

subject to a2 + b2 = 8. What is the (only) correct statement among the following?

(a)  (2, −2) and (−2, 2) are two global maximum points,

(b)  (2, 2) and (−2, −2) are two global maximum points,

(c)  (2, 2) is the global maximum point,

(d) there are no interior stationary points.

6. What is the derivative of u(c1 ,c2 ), where c1 = e −t2   and c2 = lt2 xdx with respect to t?

(a) u(e−t2 , lt2 xdx) + u(e−t2 , lt2 xdx),

(b)  −2te−t2 u(e−t2 , lt2 xdx) + (lt2 xdx)u(e−t2 , lt2 xdx),

(c)  2te−t2 u(e−t2 , lt2 xdx) + tu(e−t2 , lt2 xdx),

(d)  −2te−t2 u(e−t2 , lt2 xdx) − tu(e−t2 , lt2 xdx).

7. What is the partial derivative of f(g(x,y)2 ,x2 ) with respect to x?

(a)  f\ (g(x,y)2 ,x2 )(2g(x,y) + 2x),

(b)  f(g(x,y) ,x )2g(x,y)g22\ (x,y) + 2xf(g(x,y)2 ,x2 ),

(c)  f(g(x,y)2 ,x2 )2g(x,y) + 2xf(g(x,y)2 ,x2 ),

(d)  f(g(x,y) ,x )2g(x,y)g22 (x,y) + 2xf(g(x,y)2 ,x2 ).

8. In the following program max(x,y,z)−(1 − x)2  − y2  − z2  subject to the following constraint: x ≥ 0, what is the value of the Lagrange multiplier (associated with the constraint) at the maximum?

(a)  1,

(b)  −1,

(c)  2,

(d)  0.

B    Implicit differentiation (18 marks)

In a standard Keynesian model in a closed economy, we have that demand for goods is equal to C + I + G and supply is equal to Y , where Y  is output,  C consumption,  I investment and G is the level of public spendings.

We assume that C(Y,G), the propensity to consume, and I(Y,G), the propensity to invest, both depend on Y and G.

a. 4 marks. Write the equation which implicitly relates Y and G.

b.  8 marks. Derive Y\ (G) in the general case, and interpret.

c.  6 marks. Assume that C(Y,G) = γY , and I(Y,G) = βG, with 0 < γ < 1 and 0 < β < 1. Find the expression for Y\ (G). What are the incentives for the government to increase spending in this economy? How do they depend on γ and β?

C    Optimisation (50 marks)

We analyse the problem faced by a tobacco factory in the nineteenth century Bristol, Tobacco Yoko, and its owner.

Notes: Where are the machines?

C.1    Monopoly

We assume that the firm is a monopoly.  Let Q = D(P) = e −P  denote the demand faced by the firm, and c the (constant) cost to produce one unit.

a. 4 marks. Write the profit as a function of P and c.

b.  6 marks. What is the price chosen by the entrepreneur?