Note:  All MATLAB functions mentioned in this homework assignment can be found on the  CAAM453 homepage,  or come  with  MATLAB .   You  can use the  MATLAB codes posted on the  CAAM453 web-page.  If you modify these codes, please turn in the modified code.  Otherwise you do not have to turn in printouts of the codes posted on the CAAM453 web-page.  Turn in all MATLAB code that you have written and turn in all output generated by  your  MATLAB functions/scripts.   MATLAB functions/scripts  must  be commented, output must be formatted nicely, and plots must be labeled.

Problem 1 (50 points)

A “double pendulum” consists of a pair of pendula which are connected to each other by a pin joint (see Figure 1). The first pendulum is attached to a fixed point. The two pendula being respectively of lengths l1  and l2  and of masses m1  and m2 , the position of the two pendula can be represented by two angles θ 1  and θ2 . The kinetic energy T and the potential energy U of the system are written in terms of θ 1 (t) and θ2 (t) as

T = e1(2)θ˙1(2) + e2(2)θ˙2(2) + m2e1e2 θ˙1 θ˙2 cos (θ1 一 θ2 ) ,

U = 一 (m1 + m2 ) e1g cos (θ1 ) 一 m2e2g cos (θ2 ) .

Lagrange’s equations of motion are in the form

 ╱ 、 一  = 0,    α = 1, 2.

with the Lagrangian of the system L = T 一 U .

. Write the two equations of motion in the form

  ┐ ┌ θ¨(θ¨)2(1)   ┐ = ┌ f(f)2(1)   ┐

with m11 , m12 , m22 , f1  and f2  functions of θ1 , θ˙1 , θ2 , and θ˙2 .

. Matrix M is symmetric and invertible. Write the equations of motion as

┌ θ¨(θ¨)2(1)   ┐ = M|1  ┌ f(f)2(1)   ┐

. Write this system of 2 second order ODE’s as a system of 4 first order

ODE’s. For that, introduce the 4 variables

Figure 1: Double pendulum

y1  = θ 1 ,    y2  = θ2 ,    y3  = θ˙1 ,    y4  = θ˙2

and write

┌((   ┐)) = A ┌((   ┐))

'  y˙4   '          '  y4   '

with A ∈ R4女4 .

. Write a MATLAB code that integrates (in time, from t = 0 to t = 60 )

any other method of your choice (explicit, implicit, multistep, onestep). As an output, you should provide two graphs:  (i) one graph that draws

the position (x, y) of mass m2  as a function of time and (ii) a graph that draws ╱θ2 , θ˙2 、as a function of time.

. The total energy of the system should be conserved over time: E = T + V should not depend on time. Provide a graph E(t) for t = 0 to t = 600. Is the energy conserved numerically and why ?

Problem 2 (50 points)

You are to write Matlab codes LUfac, Lsolve and Usolve based upon the al-gorithms presented in class. LUfac should implement LU-factorization with partial pivoting for stability. Lsolve should implement the lower triangular solve and Usolve should implement the upper triangular solved needed to obtain the solution to a given linear system using the output of LUfac.

Honor Code:  For this code you are not allowed to search the internet or any  other source for an  implementation.   You  can  consult  other written textbooks and look a printed descriptions if you wish, but you may not copy any computer codes.

i.  (20 points) Your LUfac code should check A on input, set a flag and exit if A is not square. It should satisfy the following specifications:

ii.  (10 points) Your Lsolve code should check input  A and b to see that dimensions match up.  If not, set a flag and exit.  It should satisfy the following specifications:

iii.  (10 points) Your Usolve code should check input  A and c to see that dimensions match up.  If not, set a flag and exit.  During the backsolve, you must test for an exact zero on the diagonal, set a flag and exit if this occurs. It should satisfy the following specifications: