Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MAT301 Practice problems for Term Test 2

(1) Prove that C* /R*  has infinite order.

(2) Let G = (R* , .).

Find all subgroups of G of index 2.

(3) Let n ~ 3 and H a Sn  be a normal subgroup such that (12) ∈ H . Prove that H = Sn .

Hint:  Use that every element of Sn  can be written as a product of transpositions.

(4) Let G = (Z, +). Let H = (5) and K = (7) . (a) Prove that G = HK

(b) Is G the internal direct product of H and K?

(5) Let G be a non abelian group of order 125 such that lZ(G)l > 1. Prove that G/Z(G)  Z5 > Z5 .

(6) Let H, K - G be subgroups.  Suppose H a G, k a G.  Prove that HK is a normal subgroup of G.

(7) Let m, n > 1 be relatively prime.  Let ϕ :  Zm > Zn  o Zm > Zn  be an automorphism.

Prove that there are automorphisms  ϕ 1   ∈ Aut(Zm) and ϕ2   ∈ Aut(Zn) such that ϕ(, ) = (ϕ1 (), ϕ2 ()).

Hint:  Use that automorphisms preserve orders of elements.

(8) Let G be a group of order 30. Suppose Z(G) = {e}.

Prove that G can not be represented as the internal direct product of two nontrivial subgroups.

Hint: First show that if G = H x K and both lHl > 1 and lKl > 1 then lHl or lKl is prime.

(9) Suppose G1 > G2 > . . . > Gn  is cyclic. Prove that each Gi  is cyclic.

(10) Let ϕ :  Z30  o Z6  x Z5  be an isomorphism such that ϕ() = (, ). Find all the possibilities for for ϕ(). Justify your answer.

(11) Determine the order of (Z > Z)/((2, 2)) . Is this group cyclic?

(12) Prove that (1 3 5) belongs to [A5, A5].

(13) For each of the following decide if H is not a subgroup, a subgroup which is not normal or a normal subgroup in G

(a) G = (C* , .), H = {z ∈ C*  l lzl ∈ Q* }.

(b) G = D6  and H = {g ∈ D6  l g3 = e}.

(c) G = GL(2, R), H = {A ∈ GL(2, R) l lAl < e}.

(d) G = S3 > S3, H = {(g, g) lg ∈ S3}.