/2 marks      1(a)  Given A = {1, 4, α, H}, B = {4, u, 2, −2}, C = {u}, determine each of

(i)  (A n B) ∩ C

(ii) A / B

/2 marks      1(b) Let f(x) = ,

Evaluate the following:

(i)  f(g(0))

(ii) g(g(1/2))

/2 marks      1(c)  Consider the function h(x) = x2  for x ∈ [ − 1, ∞).  Explain why this

/2 marks      1(d) Evaluate

51

i≠2

showing working.

/2 marks

(i) How many binary sequences are there of length 8?

(ii) How many binary sequences of length 8 contain exactly 5 ones?

2(b)  Consider the following table of probabilities for the three possible

outcomes of an experiment X:

(i) What must a be for X to be a valid discrete random variable? (ii) What is the expectation value of X?

(iii) What is the variance of X?

2(c) A city consists of two electoral divisions: A and B. The population of

division A is 107,000, and the population of division B is 105,000. At an election the probabilities of voting for the Centre Party given that a voter was in division A was 0.16, and the probability of voting for the Centre Party given that they were in division B was 0.07.

(i) What is the probability that a randomly chosen voter is from division A?

(ii) What is the probability that a randomly chosen voter voted for

the Centre Party?  Use the law of total probability to find the probability of selecting a Centre Party voter at random from the city.

(iii) What is the probability that a voter is from division A given that

they voted for the Centre Party?

a       0      1         2         3

(i) If this function represents a probability density function then determine the value of a.

(ii) What is the probability that X is greater than 2?

3(b)  Consider the pdf for a continuous probability distribution:

g(北) =  (1 − 北2 )

(0

Given that the expectation value of this distribution is , determine

the variance.

3(c) Let f (北) = 北5/2 .

(i)  Calculate the third-degree Taylor polynomial for the function f (北) about the centre a = 1.

(ii) Use your Taylor polynomial to find an approximation for 25/2 .

X = ┌ 6   2┐ ,    Y =  '(┌)5   1'(┐)

If possible, calculate the following. If not possible, give a reason for your answer.

(i) X + YT

(ii) YX

(iii) the determinant |X|

4(b)  Suppose that B is a 5 ×3 matrix and A-1 BT C is invertible. Determine

the sizes of A and C, giving reasoning.

4(c)  Suppose that Alice buys packets of nuts and dried fruit for a party.

Each packet of nuts costs $5 and a packet of dried fruit costs $6.

In total she spends $72, and she buys 1 more packet of dried fruit than the number of packets of nuts that she buys.

Formulate a system of linear equations which could be used to deter- mine the number of each type of snack that Alice buys, and solve the system.

/2 marks

reduced row echelon form

┌0(1)     4(0)┐

Find the set of solutions to this system of equations.

5(b)  Consider the system of equations

x + 2y + 2z = 1

2x + y − 2z = 0

2x − 2y + z = 1

(i) Write down the matrix A and vector b such that the above system of equations can be written in matrix form Ax = b.

(ii) After reducing the augmented system [A|I] to row-echelon form,

By performing further row operations, find the inverse matrix A-1 . Make sure you state all row operations you are using.

(iii) Hence find the solution x to the equation in part (i).

5(c) Explain why the set {u, v, 0} is linearly dependent for vectors u, v ∈ Rn  and 0 ∈ Rn .

/5 marks      6(a)  Consider the matrix

A = ┌ 1   5(4)┐ .

(i) Find the eigenvalues of A

(ii) Find the eigenvectors for each eigenvalue?

(iii) Is A diagonalisable? Give a reason for your answer.

6(b)  Suppose that a matrix B satisfies B ┌ ┐1(1) =  ┌   ┐1(1) and B ┌ ┐0(1) =  ┌ 1┐ .

Give a matrix P which diagonalises B and the corresponding diagonal matrix.

6(c)  Suppose that a matrix C is diagonalised by

P = ┌ 1(1)   2(1)┐ with D = ┌0(d)   0(0)┐ .

Given that P-1  = ┌ 1(2)   1(1)┐ , find C5  in terms of d.