Author:  Geoff Shuetrim

This exam has 4 questions. Each question is worth 10 points.

1.  (10 points)  CAPM model risk-free rate of return

Jeff believes that he can achieve excess returns on his portfolio by concentrating his investment in the US software industry. Before committing to that investment strategy, though, he wants explore evidence supporting his investment approach so he estimates the following model of asset returns:

rst _ rf t  = αs + βs (rmt _ rf t ) + est                                                                           (1)

where, in time period t:

● rst  is the monthly rate of return on the total return index for the software industry;

● rmt  is the monthly rate of return on the total return index for the software industry;

● rf t  is the monthly risk-free rate of return; and

● est  is the shock to the monthly rate of return on the total return index for the software industry.

To estimate the regression, Jeff uses the United States 1-month Treasury Bill (T-bill) simple interest rate to approximate the risk-free rate of return. Over the sample period, the graph of the 1 month treasury bill rate is as shown below:

(a)  (2 points)  This regression equation is based upon the version of the Capital Asset Pricing Model that assumes investors can borrow or lend as much as they wish at the risk-free rate of return. In light of this assumption, critique Jeff’s use of the 1-month treasury-bill rate as the risk-free rate of return. Include an assessment of default risk and inflation uncertainty in your answer.

(b)  (2 points)  How can you reconcile the non-zero standard deviation of the one-month T-Bill rate with the CAPM assumption that the risk-free rate of return is a guaranteed rate of return, with no associated uncertainty?

Table 1: Results

Note:                                      * p<0.1; ** p<0.05; *** p<0.01

(c)  (5 points)  Jeff estimates the model and obtains the following regression results.

At the  5% level of significance,  conduct a formal hypothesis test to explore the availability of evidence that the industry generates consistent returns above those that should be expected given the time-value of money and the industry’s exposure to systematic risk. Include a diagram showing the test statistic distribution under the null hypothesis, along with the rejection region.

(d)  (1 point)  Given that the standard deviation of the excess returns on the market are 4.191%, quan- titatively compare the importance of systematic and non-systematic risk in driving the industry’s excess return variability.

2.  (10 points)  ARMA model

xt  is a stochastic process described by the equation:

xt  = (1 + 0.1L _ 0.6L )e2t                                                                                       (2)

where et  are independently and identically distributed shocks with mean 0 and variance 1.

(a)  (1 point) What order moving average is this model?

(b)  (2 points)  Show that the moving average model is invertible.

(c)  (2 points)  Derive the unconditional variance of xt .

(d)  (2 points)  Derive the correlation of xt  and xt — 1 .

(e)  (1 point)  Derive the correlation of xt  and xt —2 .

(f)  (1 point) What is the correlation of xt  and xt — k  for all k > 3?

(g)  (1 point)  Given these autocorrelations, what identifying feature would you expect to observe in the autocorrelation function for a sufficiently long realisation of the stochastic process.

3.  (10 points)  Greg’s GJR GARCH model

Greg is of the view that big negative shocks are more important than big positive shocks in causing periods of high volatility. To test his world view, Greg estimates the following variant of a GARCH(1,1) model for financial returns with mean equation:

rt  = µ + ut

and variance equation:

σt(2)  = α + βut(2)— 1 + γIt — 1 ut(2)— 1 + δσt(2)— 1

where:

. ut  = σt et

. the shocks, et , are i.i.d. et  ~ N (0, 1)

. It  is a variable that takes a value of 1 when the shock, ut , is negative and that takes a value of 0

otherwise.

(a)  (3 points)  Suggest non-negativity constraints for the coefficients in the variance equation.

(b)  (2 points) What stylised fact about financial returns is Greg able to capture by making this change to the standard GARCH(1,1) model?

(c)  (5 points)  Using 20 years of monthly data, Greg estimates his variant of the GARCH(1,1) model, obtaining a maximised log-likelihood value of _1056.038 and he estimates a standard GARCH(1,1) model, obtaining a maximised log-likelihood value of _1065.247. Perform an appropriate hypothesis test, at the 5% level of significance, to assess the strength of the evidence that there is a difference in the conditional volatility impact of negative shocks compared to positive shocks.

4.  (10 points)  market efficiency

A new fund manager in the USA builds his business around ethical investment principles. He commits to not investing in any organisations that are involved in:

. Fossil fuel extraction

. Weapons manufacture

. Tobacco production

. Gambling

After comprehensively reviewing the companies operating in the US, he finds that he reduced the number of possible companies to invest in by 75%, measured by market capitalisation.

Using monthly simple rates of return, he then constructs an  “ethical efficient frontier” from the risky assets in the remaining 25% of the companies that he deems to operate ethically.

He then invests all of his clients’ funds in the tangency portfolio along that efficient frontier, obtained by maximising the Sharpe Ratio using the 1-month US treasury-bill interest rate as the risk-free interest rate.

(a)  (3 points)  Explain why the fund manager does not need to tailor individual portfolios for each of his expected-utility-maximising clients to take into account their different levels of risk aversion.

(b)  (2 points)  Over the long term would you expect his clients to be better off financially compared to simply investing in a fund that held the market portfolio without leaving out companies on the basis of ethical considerations?

(c)  (3 points)  As part of his marketing campaign, he retrospectively determines the monthly rate of return that would have been earned by his fund had it existed over the previous 19 months and he uses that data to estimate a Jensen-style time-series regression that explains variation in his fund’s excess returns over the risk-free rate of return in terms of an intercept and the excess returns on the market, defined as all companies,  “ethical” and otherwise.  He finds that the estimate of the intercept is positive and significant, even at the 15% level and he describes that as the reward for good behaviour. As a well-informed client, suggest reasons why the analysis behind this marketing campaign is flawed.

(d)  (2 points)  Again as a well-informed client, you ask the  “ethical” fund manager to check the nor- mality of the errors in the regression described in part C. Testing the residuals from the regression, he obliges by reporting a Jarque-Bera test statistic of 14.82. What are the implications of that test result for using t-tests to conduct inference about the intercept of the regression?