Problem 1. Consider the regression model with a single regressor:  Yi  = β 0 + β1 Xi + ui .  Suppose the Least Squares Assumptions #1-#3 are satisfied.

(i)  Show that Xi  is a valid instrument, i.e., show that instrument Zi  = Xi  is relevant and exoge- nous.

(ii)  Show that the TSLS estimator constructed using Zi  = Xi  is identical to the OLS estimator of

1 .

Problem  2. Consider TSLS estimation with a single included endogenous variable and a single instrument. Then the predicted value from the first-stage regression is Xˆi  = 0 + 1 Zi .

(i)  Use the definition of the sample variance and covariance to show that  sXˆ Y   = 1 sZY   and sXˆ(2)  = 1(2)sZ(2) .

(ii)  Remember that 1  = sX Z /sZ(2)  and that the TSLS estimator T SLS  is the OLS estimator of the slope parameter in the regression of Y on Xˆ . Use these facts and the result of part (i) to prove that T SLS  obtained by the two-stage least squares procedure can be written as

T SLS  = sZY

Problem 3. Consider TSLS estimation of the effect of a single endogenous variable Xi  on Yi  using

a binary instrument Zi , which takes values of either 0 or 1. Noting that      ╱Yi − Y、╱ Zi − Z、=  Zi  ╱Yi − Y、, show that the TSLS estimator of the effect of Xi  on Yi  can be written as

 =  Y|Z=1  − Y|Z=0 

X|Z=1  − X|Z=0 ,

where, for d ∈ {0, 1}, Y|Z =d  is the average of values of Yi  for which Zi  = d; and the averages X|Z=1 and X|Z=0  are defined analogously.

Problem 4. This problem uses dataset Ps6 宁生{．dta that is available on Moodle. The description of this dataset is given at the end of this problem set.

Do parts (a), (b), (c), and (e) of the  “Additional Empirical Exercise 12.1” that is attached at the end of this problem set. Please submit the STATA output with your answers.

Additional Empirical Exercise 12.1

During the 1880s, a cartel known as the Joint Executive Committee (JEC) controlled the rail transport of grain from the Midwest to eastern cities in the United States. The cartel  preceded the Sherman Antitrust Act of 1890, and it legally operated to increase the price of grain above what would have been the competitive price. From time to time, cheating by members of the cartel brought about a temporary collapse of the collusive price-         setting agreement. In this exercise, you will use variations in supply associated with the  cartel’s collapses to estimate the elasticity of demand for rail transport of grain. The data file JEC contains weekly observations on the rail shipping price and other factors from  1880 to 1886.1 A detailed description of the data is contained in JEC_Description.

Suppose that the demand curve for rail transport of grain is specified as

ln (Qi ) = β0 +  β1 ln (Pi )+  β2Icei + ∑j(1)1β2 + jSeasj , i+ ui, where Qi  is the total tonnage    of grain shipped in week i, Pi is the price of shipping a ton of grain by rail, Icei is a binary variable that is equal to 1 if the Great Lakes are not navigable because of ice, and Seasj is a binary variable that captures seasonal variation in demand. Ice is included because grain could also be transported by ship when the Great Lakes were navigable.

a. Estimate the demand equation by OLS. What is the estimated value of the demand elasticity and its standard error?

b. Explain why the interaction of supply and demand could make the OLS estimator of the elasticity biased.

c. Consider using the variable cartel as instrumental variable for ln(P). Use economic reasoning to argue whether cartel plausibly satisfies the two conditions for a valid

instrument.

d. Estimate the first-stage regression. Is cartel a weak instrument?

e.Estimate the demand equation by instrumental variable regression. What is the estimated demand elasticity and its standard error?

f. Does the evidence suggest that the cartel was charging the profit-maximizing           monopoly price? Explain. (Hint: What should a monopolist do if the price elasticity is less than 1?)