1    Double Pendulum

Consider the Double Pendulum from the previous assignment in figure 1.  Given a state x = [θ1  θ2  ω 1  ω2], where θ˙1  = ω 1  and θ˙2  = ω2 , the angular accelerations can be calculated with:

┌ m1 l 1(2)m2(+)╱(m)l╱22l 2(2)、  m2  ╱  lm2(+)12l22l1 l2 c2、┐ ┌ω˙(ω˙)2(1)┐ =

┌m2 l1 l2 s2 θ˙1 θ˙2 + m121(2)┐

Where ci  = cos θi  and si  = sin θi . Similarly, sij  = sin (θi + θj ).

Using this setup, find the equilibrium points. Linearize the system about each equilibrium.

2    Adding a motor model

Consider a motor with the model given in figure 2. This motor has a voltage coefficient K4  such that ω2  = K4 Vemf and an efficiency η . Integrate the model for this motor in the linearization you did in the previous section.

3    Solving Linear Systems

3.1    Time Invariant Systems

Consider the following linear dynamics:

x˙1  = ┐ x1 + ┌ ┐1(1)

Find x1 (t) and x2 (t) given that x1 (0) = [1, 1]T , u (t) = 1.

3.2    Time Variant Systems

Find the fundamental and state transition matricies for

x˙2  = ┌0(0)

t(1)┐ x2

(3)