Question 1 (10 marks)

You have random samples from three groups, x ~ N(u1, 口1(2)), y ~ N(u2, 口2(2)) and Z ~ N(u3, 口3(2)). These have sample sizes of n1 , n2  and n3 , respectively.  Some R output from analyzing these data are below.   The variable x contains the observations of X, the variable y contains the observations of Y and the variable z contains the observations of Z.

>  summary(x)      Min .  1st  Qu .

2.527      3.654

>  summary(y)      Min .  1st  Qu .

2.096      3.339

>  summary(z)      Min .  1st  Qu .

2.392      3.310

Median

4.172

Median

3.761

Median

4.267

Mean 4.136

Mean 3.917

Mean 4.185

3rd  Qu .

4.653

3rd  Qu .

4.497

3rd  Qu .

4.647

Max .

5.530

Max .

6.186

Max .

7.075

>  c(length(x),  length(y))

[1]  40  20

>  c(sum(x),  sum(y),  sum(z))

[1]  165 .44587    78 .34268    41 .84626

>  c(sd(x),  sd(y),  sd(z))

[1]  0 .7182277  1 .0530746  0 .7182277

(a) For each of the following quantities, state or calculate its value if possible, or otherwise

explain why it is not possible.

(i) y(20.5)

(ii) n2

(iii)  口3

(iv) ((20)

(ii)  Calculate a 95% confidence interval for 口3 .

Question 2 (9 marks)

The University of Texas Southwestern Medical Centre ran a survey to investigate if there is a relationship between the place of birth and the risk of newborns getting infected with menin- gitis at birth.  Three birth scenarios were examined:  hospital delivery, home delivery without emergency assistance (HD without EA) and home delivery with emergency assistance (HD with EA). The centre surveyed 1053 newborns. The collected data are summarised in the following R output (with some of the details removed):

>  X

HD  with  EA  HD  without  EA  Hospital  delivery

No  Meningitis                 62                       98                             813

Meningitis                       16                       28                               36

>  chisq .test(X)

Pearson’s  Chi-squared  test

data:    X

X-squared  =  70 .553,  df  =  (??),  p-value  =  4 .783e-16

(a) What is the “Pearson’s Chi-squared test” testing in this situation?

What is your conclusion based on the R output, using a significance level of 0.05?

(b) Assuming the null hypothesis of the test given above, what is the expected number of newborns with meningitis delivered at home without emergency assistance?

(c) Derive the degrees of freedom for this test.

Question 3 (12 marks)

Daniala wants to compare customer spending at different shops.  For this purpose, she runs a one-way analysis of variance on a dataset containing information about customer spending (in dollars) at different shops in her suburb.  A partial ANOVA table and some summary of the data are given below.

Complete the ANOVA table. Show your working.

(b) Is there evidence of any differences in the average spending between the five shops?

Consider a 10% significance level and state the relevant critical value.

Assuming a normal distribution for the customer spending, test whether the variance of customer spending in shop 1 is smaller than that in shop 2.  Use a significance level of 0.05.

Question 4 (8 marks)

Let x be the lifetime of a mobile phone battery after a full recharge. The distribution of x can be modelled by a shifted exponential distribution, having pdf f (北) = 入e_入(z_5) , for 北 > 5.

(a) Find the mean of x .

Find the median of x .

(c) Julia measured the lifetime of the battery of her mobile phone after a full recharge 20 times in a row (assume this consitutes a random sample).  Across those 20 attempts, the mean lifetime was 17.3 hours, with a standard deviation of 1.1 hours. Calculate an approximate 95% confidence interval for the median lifetime of the battery.

Question 5 (10 marks)

Let x1 , . . . , xn  be a random sample from the Poisson distribution with mean 入. This has pmf

入北 e_入

,

where y e {0, 1, . . . } and 入 e (0, o).

(a)  Determine a sufficient statistic for 入.

Find the maximum likelihood estimator (MLE) of 入.

(c) Is this MLE unbiased?

(d) Find the Cram´er–Rao lower bound for unbiased estimators of 入.

Question 6 (10 marks)

The time required for Martina to answer a student’s question during her tutorials has an expo- nential distribution with mean 1/入. She measured the time required for a random sample of 30 students’ questions this semester and found that her average time was 2.5 minutes. As a prior for 入 use a gamma distribution with mean 0.2 and standard deviation 0.2.

(a) Write down the likelihood function for 入.

Derive the posterior distribution for 入.

Question 7 (10 marks)

P. Cortez and A. Silva examined students’ achievement in secondary education in two Portuguese schools during 2006  (total sample size, 382).   In the following R code, the authors tried to examine the relationship between the students’ final grade  (G3) and their first grade  (G1). Each grade is an integer between 0 and 20, inclusive.

>  reg  <-  lm(formula  =  G3  ~  G1  ,  data  =  grades)

>  summary(reg)

Call:

lm(formula  =  G3  ~  G1,  data  =  grades)

Residuals:

Min              1Q     Median             3Q           Max

-11 .6706    -0 .7974      0 .3294      1 .7098      5 .0902

Coefficients:

Estimate  Std .  Error  t  value  Pr(>|t |)

(Intercept)  -1 .85100        0 .48392    -3 .825  0 .000153  ***

G1                     1 .12680        0 .04258    26 .462    <  2e-16  ***

---

Signif .  codes:    0  ***  0 .001  **  0 .01  *  0 .05  .  0 .1      1

Residual  standard  error:  2 .784  on  380  degrees  of  freedom    Multiple  R-squared:    0 .6482,     Adjusted  R-squared:    0 .6473 F-statistic:  700 .3  on  1  and  380  DF,   p-value:  <  2 .2e-16

(a)  Give an estimate of the slope (8) coefficient.

(b) Test the null hypothesis that 8 = 1 against a two-sided alternative, using a significance level of 0.02.

(c) Based on the fitted regression model, what is the estimated final mark for Liqi, who received a mark of 13 for G1?

(d) Which of the following R commands would you use to provide an estimated range for Liqi’s final mark? Justify your answer.

>  predict(reg,  newdata  =  data .frame(G1  =  13),  interval  =  "prediction") >  predict(reg,  newdata  =  data .frame(G1  =  13),  interval  =  "confidence")

(e) Calculate correlation coefficient between G1 and G3.

(f) Consider the ANOVA interpretation of regression.  For the linear model yi  = a + 8yi , the Ms(R) can be written as 8ˆ2      (yi - )2 .

Show that E[Ms(R)] = 口2 + 82       (yi - )2 .

Question 8 (11 marks)

In the first week of semester we did a ‘fun quiz’ to predict how long the border between NSW and Victoria will be closed. The responses to this were saved in a data frame that contains two columns: subject (either ‘MAST20005’ or ‘MAST90058’ for each student, depending on which subject they were enrolled in) and answer (the number of days predicted by each student).     The data was analysed by Julia using R. Some output from this is shown below.

>  table(quiz$subject)

MAST20005  MAST90058

99                17

> mast20005  <-  quiz$answer[quiz$subject  ==  "MAST20005"]

> mast90058  <-  quiz$answer[quiz$subject  ==  "MAST90058"]

>  summary(mast20005)

Min .  1st  Qu .   Median       Mean  3rd  Qu .       Max .

10.00      39.00      60.00      67.79      85.00    243.00

>  summary(mast90058)

Min .  1st  Qu .   Median       Mean  3rd  Qu .       Max .

20.00     43.00      63.00      63.29      75.00    145.00

>  sd(mast20005)

[1]  42 .01998

>  sd(mast90058)

[1]  31 .30049

(a)  Calculate  a  95%  confidence  interval  for  the  ratio  of  variances  of  the  two  groups, 口M(2)AST20005 /口M(2)AST90058 .   Assume the data are a random sample from each group of students. Is it plausible that the two groups have similar variance?

(b)  Assume that a gamma distribution, f (y) = 8aya_1 e_βz /Γ(a), is a good approximation to the data in the answer column for the MAST20005 group.  Show that the sample mean for this group, , is equal to the ratio of the maximum likelihood estimators, i.e.   = /8ˆ .

Hint : it is not possible to derive separate formulae for  and 8ˆ .

(c)  Using the same data and model as the previous question, derive the method of moments (MM) estimators for a and 8 .

(d)  Calculate the MM estimates of a and 8 for the MAST20005 group using Julia’s summary statistics of the data given at the beginning of the question.