Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

QBUS1040

Tutorial 3

Semester 2, 2022

Exercise 1:  Norm identities

Verify that the following identities hold for any two vectors a and b of the same size.

(a)  (a + b)T (a − b) = ∥a∥2 − ∥b∥2 .

(b)  ∥a + b∥2 + ∥a − b∥2  = 2(∥a∥2 + ∥b∥2 ). This is called the parallelogram law.

Exercise 2:  Difference of squared distances

Determine whether the difference of the squared distances to two fixed vectors c and d, defined as f(x) = ∥x − c∥2 − ∥x − d∥2 ,

is linear, affine, or neither. If it is linear, give its inner product representation, i. e ., an n-vector a for which f(x) = aT x for all x. If it is affine, give a and b for which f(x) = aT x + b holds for all x. If it is neither linear nor affine, give specific x,y,α, and β for which superposition fails, i. e .,

f(αx + βy)  αf(x) + βf(y).

(Provided α + β = 1, this shows the function is neither linear nor affine.)

Exercise 3:  Mathematical proofs

(a)  Show that the average, RMS value, and standard deviation of a vector are related by the formula: rms(x)2  = avg(x)2 + std(x)2

(b)  Show that Cauchy-Schwarz inequality holds for any vectors a and b;

|aT b| ≤ ∥a∥∥b∥

using the method on slides 17 of the lecture.

Exercise 4:  Nearest neighbour and smallest angle

Using Python, find the nearest neighbour of a = (1, 3, 4) among the vectors

x1  = (4, 3, 5),    x2  = (0.4, 10, 50),    x3  = (1, 4, 10),    x4  = (30, 40, 50).

Report the minimum distance of a to x1 , . . . ,x4 .  Also, find which of x1 , . . . ,x4  makes the smallest angle with a and report that angle. Can you write a function to perform the same operation?