1.  (20 points) Decide whether the following st atements are true (T) or false (F): (no need to explain)

a.  (4 points) If a point satisfies the FONC, it must be a local extremum.

b.  (4 points) If a point satisfies both the FONC and SONC, it must be a local extremum.

c.  (4 points) To solve an 1D optimization problem with a C0 -continuous objective function to a requested accuracy, bisection method always requires less or     equal number of iterations compared to the golden section search method.

d.  (4 points) To solve an 1D optimization problem with a C2 -continuous objective function to a requested accuracy, bisection method always requires less or     equal number of iterations compared to the golden section search method.

e.  (4 points) To solve an 1D optimization problem with a C3 -continuous objective function to a requested accuracy, Newton’s method always requires less or    equal number of iterations compared to the bisection method.

2.  (20 points) Letf : [−1, 2] → R be defi ned byf(x) = x3 − 3x + 2. Find all local and global extrema off.

3.  (20 points) Use the defi nition of convex sets to prove that the intersection of two convex sets is convex.

4.  (20 points) Calculate the Jacobian matrix of g(x) = (aT x)x where a, x ∈ Rn according to the following steps:

a. (5 points) Express the i-th component of g(x) using the component of a and x. For example, the i-th component of (xT x)x is xi n xj(2) .

b. (10 points) Calculate  , namely the derivative of the i-th component of g(x) w.r.t . thej-th component of x. (H int : you may want to express  in two cases  — when i = j and when i ≠ j).

c. (5 points) Based on the result of question b, write the Jacobian matrix ∇g(x) in vector form using a and x. Is the Jacobian matrix symmetric positive defi n ite?

5.  (20 points) Prove the Rayleigh’s inequality, whic h st ates that for any symmetric positive defi nite matrix Q ∈ Rn×n , we have

λmin (Q)∥x ∥2  ≤ xT Qx ≤ λmax(Q) ∥x ∥2

for any x ∈ Rn . Here λmin (Q) denotes the min imal eigenvalue of Q and λmax(Q) denotes the maximal eigenvalue of Q.

(Hint : You may want to use the linear combination.)