Question 1 Express each of the following statements in first-order logic.

(a) the product of an irrational number and a non-zero rational number is irrational.

(b)  f(x) is bounded on [a,b]

Question 2 Give an example of a set which is a natural number, and an example of a set which is not a natural number.

Question 3 Let A and B be non-empty sets that are bounded above. Let A + B denote the set A + B = {a + b | a ∈ A b ∈ B}

Using the definition of supremum prove

supA + B ≤ supA + supB

Question 4 Let S ⊆ R.  Prove that if S has a supremum, then there is exactly one element of R that satisfies the definition of supremum of S . Use the Real Number Axioms and Theorems from Section 3, where appropriate, to justify the steps in your proof.

Question 5 True or false:

(a)  The set R with the usual order is well-ordered.

(b)  The set N with the usual order is well-ordered.

(c)  There is a continuous function f : (0, 1) → R that is not injective.

Question 6 Let (gn) be Cauchy. Using the definition of Cauchy prove there exists M ∈ N+  so that gM+1 +  is an upper bound for the set

{gk  | k > M}

Question 7 Let m ∈ R.  Let f,g : R → R so that f(x) > g(x) for all x > m.  Prove that if

lim g(x) = ∞, then  lim  f(x) = ∞ .

x→∞                                         x→∞

Question 8 Let f : R → R be a continuous function. Let c ∈ R so that f(北) > 0. Prove there exists 6 > 0 so that f(北) > 0 for all 北 ∈ (c − 6,c + 6).

Question 9 Let n ∈ N+  and let

f(x) = 2xn + xn −1 + xn −2 + ··· + x2 + x + 1           Prove that if n is odd, then f(x) has at least one root in the interval (−1, 1)

Question 10 Let f : R → R so that

x ∈ Q

x  Q

Prove f is not integrable on [3, 4].

Question 11

Find the interval of convergence of the following power series.

∞

 (x − 3)n

Question 12 Compute the order 2 Taylor polynomial of x2 sin x at 0.

Question 13 Let K ∈ R+  Let f : R → R be an infinitely differentiable function so that for all n ∈ N and all 北 ∈ R we have

|f(n)(北)| < K

Prove that if the Taylor series of f at 0 converges at 北, then it converges to f(北). As part of your solution you may assume the following fact

cn

n→∞ n!

for all c ∈ R.