Question 1 (4 marks)

Let p and q be two statements (i.e., propositions).  Express p ^ q (the conjunction of p and q) in terms of the negation (not) and disjunction (or).  That is, find a compound statement in terms of p and q using only ⇠ and _. Use a truth table to show that your two statements are equivalent.

Question 2 (6 marks)

Which of the following statements are true and which are false?

For the false statements, give a counterexample.

(a) 8x 2 R, 9y 2 R,  y > x

(b) 8x 2 R, 9y 2 R,  0 < y < x

(c) 8x 2 R,  x2  > x

(d)  9x,y 2 R,  (x = y) ^ (x = −y)

Question 3 (10 marks)

Recall that a subset A ✓ Q is called a Dedekind cut is it satisfies the following three properties:

i)  A  ; and A  Q

ii) 8a,b 2 Q, (a 2 A) ^ (b < a)  =) (b 2 A)

iii) 8a 2 A 9b 2 A, a < b

(In the following you may use the ordering and algebraic properties of Q without proof.)       (a)  Prove that the set of negative rational numbers N = {q 2 Q : q < 0} is a Dedekind cut. (b) Let A and B be Dedekind cuts. Prove that the “sum”

A + B = {q 2 Q : 9a 2 A9b 2 B, q = a + b}

is a Dedekind cut.

Question 4 (10 marks)

(a) Let A ✓ R.

(i)  Give the definition of supA, the supremum of A.

(ii)  Give the definition of a limit point of A.

(b) Let A be a bounded subset of R, and let ↵ = supA.  Prove that either ↵ 2 A or ↵ is a

limit point of A.

(c) Let f,g : R −! R be two functions and let A ✓ R. Recall that the supremum of a function f on A is defined by supA f = sup{f(x) : x 2 A}. Prove that

sup(f + g) 6 supf +supg

A                            A               A

Question 5 (8 marks)

(a) State the e-6 definition of convergence for a sequence.

(b) Prove (using the e-6 definition) that the sequence defined by

an =

satisfies

nlim!1an =

Question 8 (8 marks)

Let f : [−1, 1] ! R be given by f(x) = (0(x)sin(北(1)

(a) Show that f is continuous at x = 0.

(b) Show that f is not di↵erentiable at x = 0.

(You may use without proof that sin(1/x) has no limit as x ! 0.)

Question 9 (8 marks)

(a) State the Mean Value Theorem.

(b) Let f : [−1, 1] ! R be a function that is continuous on [−1, 1] and di↵erentiable on (−1, 1).

Suppose that f(−1) = −1, f(1) = 1 and that Ax 2 (−1, 1) we have f\ (x) 6 1.

Use the Mean Value Theorem to show that f(x) = x for all x 2 [−1, 1].

Question 10 (4 marks)

Consider the function f : [0, 1] ! R given by f(x) =

Without computing the integral explicitly, show that

 6 Z0 1   6

(Hint: consider the partition {0,  , 1} of [0, 1].)

Question 11 (8 marks)

Let f : [0, 1] ! R be given by f(x) = (^10北

x 2 (0, 1]

x = 0