Problem  1  (20 points):  Generate functions that will help users to compute the following discrete distributions

1. Binomial distribution

2. Hypergeometric distribution

3. Negative binomial distribution

4. Poisson distribution

The users should be allowed to enter relevant arguments for each distribution. Make sure that the users cannot enter values of random variables that are not valid for the selected discrete distribution (example 1:  negative values for x, example 2: x > n). Use factorial function to compute the factorials within the distribution.

Example:  binomial prob(2,  100, 0.5) should use the binomial distribution for- mula to compute the probability P(X = 2) given the number of trials = 100 and the probability of success is 0.5

Problem 2 (20 points):  Elderly population use a smart watch that detects a fall event and sends an emergency message to the police and the EMS. If a person falls the probability of the smart watch categorizing the event as a fall is 0.95. The device does generate false alarms.  In last two years there were five incidences where the police arrived on the scene and found out that it was a false event. Police records show that the chances of an elderly person falling on any given day in the community is 2 in 10,000. If a police receives an emergency message tomorrow, what is the probability that it is a true fall event.

Problem 3 (20 points): In a stress test, each airplane wing is loaded 50 units. Let X denote the actual load for the right wing and Y denote the actual load for the left wing. Suppose that X and Y are random variables with the joint density function

f(x,y) = k (x2 + y2 ) , 20 ≤ x < 60, 20 ≤ y < 60

f(x,y) = 0 ,  elsewhere

(a) Find k;

(b) Find P(20 ≤ X ≤ 55 and 30 ≤ Y ≤ 55);

(c) Find P(10 ≤ X ≤ 20 and 10 ≤ Y ≤ 20);

(d) Find P(X = 35,Y = 45);

(e) Find the probability that both the wings are under loaded.

Problem 4 (10 points): Suppose that X and Y have the following joint probability

function:

                 x         

f(x,y)     2        4    

   1    0.20   0.15

y    3    0.20   0.30

   5    0.10   0.25

(a) Find the expected value of g(X,Y) = XY2 .

(b) Find µX  and µY .