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HOMEWORK  6

MATH 312

Problem  1 .  (3 points.) Let n e N. Find the number of solutions to the congru- ence equation

x2  三 0    (mod n).

Problem 2.  (3 points.) Let n e N.  Show that there exist n consecutive positive integers m + 1, m + 2, . . . , m + n with the property that for each k e {1, 2, . . . , n}, the congruence equation

x2 + 1 三 0    (mod m + k)

is not solvable.

Problem 3.  (3 points.) Let p1 , . . . , pm  be distinct prime numbers, and let

n := p1 . p2 . . . . . pm .

Find the number of solutions to the congruence equation:

x4  三 1    (mod n).

Problem 4 .  (3 points.) Let n > 2 be an integer. Prove that n is a prime number if and only if

(n _ 2)! 三 1    (mod n).